Question

Um corpo de peso P encontra-se em equilíbrio, suspenso por três cordas inextensíveis. Observe, na figura, o esquema das forças T1 e T2, que atuam sobre o nó de junção das cordas, e os respectivos ângulos, α e β, que elas formam com o plano horizontal.
Fazendo a decomposição dessas forças, um aluno escreveu o seguinte sistema de equações:
T1 sen α + T2 sen β = P
T1 cos α + T2 cos β = 0
Sabendo que α e β são ângulos complementares, o aluno pôde determinar a seguinte expressão do cosβ em função de T1, T2 e P:

a) (T1P)/(T12+T22)
b) (T2P)/(T12+T22)
c) P2/(T12+T22)
d) (T1T2)/(T12+T22)

Gabarito: A

Answer 1

Resposta:

(a) $\frac{T1P}{T1^{2}+T2^{2} }$

Explicação passo a passo:

De acordo com o esquema desenhado na figura em anexo, têm-se o sistema:

$\left \{ {{T_{1} sen\alpha + T_{2} sen\beta = P} \atop {T_{1cos\alpha = T_{2}cos\beta } }} \right.$

Assim, o sistema ficará:

$\left \{ {{T_{1}sen\alpha +T_{2}sen\beta =P } \atop {T_{1}cos\alpha -T_{2}cos\beta =0 }} \right.$                                       (1)

Como na questão os ângulos α e β são complementares, logo:

$\alpha +\beta = 90$, desse modo:

$sen\alpha =cos\beta$    e    $cos\alpha =sen\beta$                 (2)

Assim, substituindo (2) no sistema em (1), tem-se:

$\left \{ {{T_{1}cos\beta +T_{2}sen\beta =P } \atop {T_{1}sen\beta -T_{2}cos\beta =0 }} \right.$                                        (3)

isolando senβ em cada linha do sistema em (3):

$sen\beta =\frac{P-T_{1}cos\beta }{T_{2} }$       e   $sen\beta =\frac{T_{2}cos\beta }{T_{1} }$       (4)

Igualando as duas expressões de senβ em (4):

$\frac{T_{2} cos\beta }{T_{1} } = \frac{P-T_{1}cos\beta }{T_{2} }$                              

Multiplicando a igualdade de forma cruzada:

$T_{2} ^{2}cos\beta =T_{1}P-T_{1} ^{2}cos\beta$    

Organizando os termos:

$T_{2} ^{2}cos\beta + T_{1} ^{2}cos\beta =T_{1}P$

Evidenciando cosβ:

$cos\beta (T_{2} ^{2}+T_{1} ^{2} )=T_{1}P$

Organizando os termos:

$cos\beta =\frac{T_{1}P }{T_{1} ^{2}+T_{2} ^{2} }$

Logo, a resposta certa é a letra a).