Question

um corpo de massa inicial de 200 kg está em movimento sob a ação de uma força constante de 2000 n sabendo-se que esse corpo está perdendo 1 kg de sua massa por segundo e considerando que a resistência do ar é o dobro da sua velocidade e que o corpo está em repouso no instante t = 0 então a ideia que descreve a variação de sua velocidade é dada por v linha de igual a 2000 - 2x sobre 200 - t e v 0 = 0 determine a velocidade do corpo v(t)no instante t = 5 segundos com intervalos de 0,5 segundos sabendo-se que a solução exata da equação é v(t) = 10t - 1 /40 t²
compare a solução aproximada obtida

me ajuda por favor é pra amanhã, é pelo método de Euler.


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Answer 1

Resposta:

A velocidade do corpo no instante t=5s é:

• Calculada pelo método de Euler:

        v(5) = 49,436

• Calculada pela solução exata:

        v(5) = 49,375.

Explicação passo a passo:

No método de Euler calculamos a integral de y'(t) dada pela equação diferencial ordinária com valor inicial:

$y'(t) = f(t,y(t)),$

com a condição inicial $y(t_0)=y_0$.

O método é iterativo, onde se divide o intervalo de integração em subintervalos de comprimento h, de forma que:

$y(t_{n+1}) = y(t_n) + h y(t_n, y(t_n))$

Em nosso caso, a equação diferencial é:

$v'(t) = f(t,v(t)) = (2000-2*v(t)) / (200-t)$

Aplicando o método de Euler, temos. usando o passo de integração h = 0,5:

$v(t+0,5) = v(t) + 0,5 * (2000-2*v(t)) / (200-t)$

Podemos fazer o cálculo numa planilha eletrônica, conforme a figura anexa.  Na primeira coluna preenchemos de 0 até 5 com intervalos de 0,5. Na segunda coluna calculamos v(t) usando a fórmula do método de Euler dada na equação acima. Obtemos o valor v(5) dessa forma. Na mesma planilha podemos calcular o valor de v(5) usando a fórmula exata, obtendo os valores abaixo:

v(5) = 49,436  (método de Euler)

v(5) = 49,375  (fórmula exata)