Question

Um corpo de massa 2 kg oscila na direção horizontal entre os extremos 0,2
m e 0,2 m, em movimento harmônico simples, preso à extremidade de uma mola, cuja
constante elástica vale 400 N/m. Sabe-se que a outra extremidade da mola está fixada
numa parede vertical e que no instante t = 0 s a posição inicial do corpo é 0,1 m,
dirigindo-se para o extremo 0,2 m. Escreva a função horária da posição para o
movimento desse corpo. (Explicite os cálculos na obtenção das grandezas).

Answer 1

Utilizando noções basicas de oscilação harmonica, temos que nossa função de mola é: $x=0,2.cos(10\sqrt{2}.t+\frac{5\pi}{3})$

Explicação:

Uma oscilação harmonica simples tem o seguinte formato geral:

$x=A.cos(\omega.t+\phi)$

Onde:

A: Amplitude de oscilação, neste caso 0,2 m.

$\omega$: Frequência angular de oscilação, que no caso da mola é dado por $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$, constante elastica sobre massa.

$\phi$: Fase da vibração.

Vamos primeiramente substituir os valores que temos:

$x=A.cos(\omega.t+\phi)$

$x=0,2.cos(\sqrt{\frac{400}{2}}.t+\phi)$

$x=0,2.cos(10\sqrt{2}.t+\phi)$

Agora vamos testar em que posição estará este objeto em t = 0:

$x=0,2.cos(10\sqrt{2}.0+\phi)=0,2.cos(\phi)$

Mas queremos que este valor seja igual a 0,1, então:

$0,2.cos(\phi)=0,1$

$cos(\phi)=0,5$

$\phi=\frac{\pi}{3}ou\frac{5\pi}{3}$

Assim temos dois angulos no qual este cosseno é igual a 0,5, porem somente o maior está correto, pois a partir de π/3 o cosseno começa a diminuir e a partir de 5π/3 começa a aumentar e como o objeto está indo em direção ao 0,2 m, significa que ele está aumentando, sendo assim nossa função harmonica fica:

$x=0,2.cos(10\sqrt{2}.t+\frac{5\pi}{3})$