Um corpo de massa 2,0 kg é abandonado do alto de uma rampa que forma com o plano horizontal um ângulo de 30°. Sabendo que o coeficiente de atrito dinâmico do plano em relação ao corpo é de 0,2. Calcule utilizando o desenho abaixo:
a) a reação do plano de apoio;
b) a força de atrito entre o corpo e o plano;
c) a força resultante que age sobre o corpo;
d) a aceleração gerada pela resultante das forças que agem sobre o corpo;
e) a velocidade do móvel após 5 s;
f) a distância percorrida em 5s
em sobre o corpo;
Soluções para a tarefa
a) N ≈ 17 N.
b) Fat ≈ 3,5 N.
c) Fr ≈ 6,5 N.
d) a ≈ 3,3 m/s².
e) v ≈ 16 m/s.
f) x ≈ 82 m.
Explicação:
Vamos definir as forças pela Segunda Lei de Newton nas componentes X e Y, pelo diagrama apresentado, e resolver essa tarefa por partes. Portanto:
Para a componente X:
Fx = Px - Fat = m.a
P.senθ - Fat = m.a.
Para a componente Y:
Fy = N - Py = 0
N - P.cosθ = 0.
a) A reação do plano de apoio é a força normal N do plano sobre o corpo, ou seja, basta analisarmos apenas a componente Y. Sendo assim:
N - P.cosθ = 0
N = P.cosθ
N = m.g.cos30°
N = 2,0.10.√3/2
N = 17,32 N
N ≈ 17 N.
b) A força de atrito Fat entre o corpo e o plano é o Fat dinâmico, representado pela equação:
Fat = μd.N
Fat = 0,2.(17,32 N)
Fat = 3,464 N
Fat ≈ 3,5 N.
c) A força resultante Fr, nada mais é que a soma das forças vetoriais em cada componente, seu módulo é representado por:
Fr² = Fx² + Fy²
Para Fx:
Fx = Px - Fat
Fx = P.senθ - Fat
Fx = m.g.sen30° - Fat
Fx = 2,0.10.1/2 - 3,464
Fx = 6,5358984 N.
Para Fy:
Fy = N - Py
Fy = N - P.cosθ
Fy = N - m.g.cos30°
Fy = 17,32 - 2,0.10.√3/2
Fy = 0 N.
Logo,
Fr = √6,5358984² + 0²
Fr ≈ 6,5 N.
Faz sentido a força resultante depender apenas da componente X, já que é a direção do seu movimento.
d) Sabemos que, o movimento é acelerado pela força peso e temos a força resultante que só depende da componente X, logo:
Fr = m.a
a = Fr/m
a = 6,5358984/2,0
a ≈ 3,3 m/s².
e) Basta utilizarmos a equação da cinemática para a aceleração em função do tempo:
v = v₀ + a.t
Como o corpo parte do repouso, v₀ = 0, logo:
v = 0 + 3,3.5
v ≈ 16 m/s.
f) Pela relação da cinemática do movimento em função do deslocamento:
x = x₀ + v.t
Como o corpo parte do repouso, x₀ = 0, logo:
x = 0 + 16.5
x ≈ 82 m.
Respostas:
a) ≈ 17,3 N
b) ≈ 3,4 N
c) ≈ 6,5 N
d) ≈ 3,3 m/s²
e) ≈ 16,4 m/s
f) ≈ 41,0 m
Explicação:
Componentes do peso:
Obs: Peso = m.g => P = 2.10 = 20 N
Px = P.sen(a) = 20. sen(30) = 20/2 = 10 N
Py = P.cos(a) = 20. cos(30) = 20.√3/2 = 10√3 N
a) A reação do plano de apoio é igual ao Py.
Dessa maneira, 10√3 N ≈ 17,3 N
b) A força de atrito é calculada por Fat = μ.N, onde μ = 0,2 e N = 10√3 N.
Assim: Fat = 0,2 . 10√3 N = 2√3 N ≈ 3,5 N
c) A força resultante é a força Px menos Fat
Fr = 10 - 2√3 N ≈ 6,5 N
d) A aceleração é dada por:
Fr = m.a
6,54 = 2.a
a = 3,27
a ≈ 3,3 m/s²
e) Se o bloco foi abandonado do repouso, então Vo = 0.
V = Vo + at
V = 0 + 3,27.5
V ≈ 16,4 m/s
f) A distância percorrida foi de:
V² = Vo² + 2.a.D
(16,35)² = 0 + 2.(3,26).d
d ≈ 41,0 metros