Question

Um corpo de 10,6 kg oscila na extremidade de uma mola vertical que tem constante de mola de 2,0⋅104 N/m. O efeito da resistência do ar é representado pelo coeficiente de amortecimento b=3 N⋅s/m. Se a amplitude original deste movimento é de 20 cm, determine a amplitude ao fim de um ciclo completo ( 1 período ). Dê sua resposta em cm. Utilize o máximo de casas decimais ao longo de seus cálculos

Answer 1

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Movimento Periódico – Oscilações Amortecidas , concluímos que a amplitude após um ciclo é de  19,6 cm

☛     Quando há uma força (amortecedora) além da restauradora atuando em um oscilador harmônico simples, temos uma Oscilação Amortecida. Se essa força é proporcional à velocidade, nós temos, pela Segunda Lei de Newton:

$\large \begin{array}{l}\sum F_{x} =-kx-bv =ma\\\end{array}$

Reescrevendo  $a$  como  $d^2x/dt^2$  ,  $v$  como  $dx/dt$ , dividindo por  $m$  e reorganizando os termos,

$\large \begin{array}{l}\displaystyle\frac{d^{2} x}{dt^{2}} +\frac{b}{m}\frac{dx}{dt} +\frac{k}{m} x=0\\\end{array}$

♦︎     Uma EDO Linear de Segunda Ordem com coeficientes constantes.

Se  $b < 2\sqrt{k/m}$ , dizemos que é uma Oscilação Subamortecida, e a solução geral da EDO é:

$\large\begin{array}{l}x=Ae^{-(b/2m) t}\cos( \omega 't+\phi )\\\end{array}$

Em que  $\omega '=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}$ é a frequência angular. Note que no MHS temos  $\omega=\sqrt{k/m}$

➜     É o caso da questão, pois  $2\sqrt{k/m}=2\sqrt{2\times10^4/10,6}=86,88 \ rad/s$  é maior que  $b=3 \ N\cdot s/m$

➜     A amplitude do movimento é reduzida exponencialmente pelo fator  $e^{-(b/2m) t}$ . O período de uma oscilação é

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} =2\pi \sqrt{\frac{10,6}{2\times 10^{4}}} =0,145\ s$

∴     A amplitude após um ciclo

$\large \begin{array}{l}=Ae^{-( b/2m) t}\\\\=20e^{-( 3/2\times 10,6) \times 0,145}\\\\=19,6\ cm\end{array}$

∴     A amplitude após um ciclo é de  19,6 cm   ✍️

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