Um conjunto A de números naturais contém precisamente doze múltiplos de 4,sete múltiplos de 6,cinco múltiplos de 12 e nove números ímpares. O número de elementos de A é?
Soluções para a tarefa
Resposta: 23 elementos
Explicação passo a passo:
Como 12 = 2*2*3, sabemos que todo múltiplo de 12 é também múltiplo de 4 e de 6 também. Veja, inclusive que mmc(4,6) = 12.
Assim, já sabemos que há cinco múltiplos de 12 que são também múltiplos de 4 e de 6.
Vamos supor que estes múltiplos de 4 sejam: {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44}.
Repare que há neste conjunto os seguintes múltiplos de 12: {0,12,24,36}. Sendo, portanto, apenas 4.
Adicionando mais um múltiplo de 12 teremos: {0,12,24,36,48}.
Como este múltiplo (48 no caso) também é multiplo de 4, precisamos remover um múltiplo de 4 da lista. Vamos remover um que não seja múltiplo de 6 também (como por exemplo 24) para que já possamos contar na lista dos múltiplos de 6.
Vejamos os múltiplos de 6: {0,6,12,18,24,30,36}. Com exceção de 6, 18 e 30 os demais são múltiplos simultaneamente de 6 e 4. Só adicionameremos então 3 números a mais. Então, já podemos ver que o conjunto A tem os elementos:
{0,1,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,15,16,17,20,24,28,30,36,40,44,48}
Já adicionamos os ímpares menores possíveis já que eles não serão múltiplos nem de 4, nem de 6 e nem de 12.
Assim:
- Os números sublinhados são múltiplos de 12;
- Os números em negrito são múltiplos de 4; e
- Os números em itálico são múltiplos de 6.
Concluindo, A terá exatamente 23 elementos.
Observe que não é possível adicionar mais elementos, porque se adicionarmos um múltiplo de 6 que também é multiplo de 12 mudaremos também o total de múltiplos de 4.
E, se adicionarmos um múltiplo de 6 que não é multiplo de 12, teremos que remover outro na mesma situação, não alterando o número total de elementos.