Question

Um cone tem altura 6 cm e diâmetro 10 cm. Considerando p 5 3,14,

determine a área total da superfície

do cone.

​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{A_T=25\pi+5\pi\sqrt{61}~cm^2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas fórmulas estudadas em geometria espacial.

A área total de um cone é dado pela fórmula $A_T=\pi\cdot r^2+\pi \cdot r\cdot g$, tal que $r$ é o raio da base e $g$ é a medida da geratriz do cone.

Para calcularmos a medida do raio, dada a medida do diâmetro, lembremos que:

$r=\dfrac{d}{2}$

Substituindo a medida do diâmetro, temos

$r=\dfrac{10}{2}$

Simplifique a fração

$r=5~cm$

Para calcularmos a medida da geratriz, utilizamos o teorema de Pitágoras.

Dada a altura e a medida do raio, a geratriz é calculada pela fórmula:

$g^2=h^2+r^2$

Substituindo a medida do raio que encontramos a e a altura que nos foi dada, temos

$g^2=6^2+5^2$

Calcule as potências

$g^2=36+25$

Some os valores

$g^2=61$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$g=\pm~\sqrt{61}$

Como se trata de uma figura geométrica, assumimos somente a solução positiva

$g=\sqrt{61}~~\checkmark$

Para calcularmos a área lateral de um cone, devemos analisar a planificação do cone e calcularmos a área de um setor circular. Observe a imagem em anexo:

Dado um ângulo deste setor, tal que a medida do raio é a geratriz e o comprimento do arco deste ângulo é $2\pi r$ (por causa da medida da circunferência que determina a base do cone), fazemos:

$\dfrac{A_{Setor}}{\alpha}=\dfrac{\pi \cdot g^2}{2\pi}$, tal que $\alpha$ está dado em radianos.

Isolando $A_{Setor}$, temos

$A_{Setor}=\dfrac{g^2\cdot\alpha}{2}$

Da mesma forma, comparando o comprimento do setor com o comprimento total, temos:

$\dfrac{2\pi\cdot r}{\alpha}=\dfrac{2\pi\cdot g}{2\pi}$

Isolando $\alpha$, temos

$\alpha=\dfrac{2\pi\cdot r}{g}$

Substituindo esta expressão na fórmula do setor:

$A_{Setor}=\dfrac{g^2\cdot \left(\dfrac{2\pi\cdot r}{g}\right)}{2}=\pi\cdot r\cdot g~~\checkmark$

Utilizando as medidas que encontramos, a área total é:

$A_T=\pi\cdot 5^2+\pi \cdot5\cdot\sqrt{61}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$A_T=25\pi+5\pi\sqrt{61}~cm^2$

Esta é a área total da superfície deste cone.