Question

Um cone tem 10cm de altura. A uma distância de 4cm do vértice, secciona-se esse cone com um plano paralelo à base. Calcule o volume do tronco de cone assim obtido?

Answer 1

Seja $v$ o volume do cone menor de altura $h = 4$ cm e $V$ o volume do cone maior de altura $H = 10$ cm. Quando calculamos a razão entre suas alturas o fazemos assim:

$\frac{h}{H} = \frac{4}{10} \Rightarrow \frac{ h }{ H } = \frac{2}{5}$

Só que essa proporção linear não pode ser diretamente utilizada para o volume. Você deve considerar o quadrado dessa proporção linear quando relacionar áreas semelhantes e o cubo dessa proporção linear quando relacionar volumes semelhantes. Então:

$\frac{ v }{ V } = { \left ( \frac{2}{5} \right ) }^{3} \\ \frac{ v }{ V } = \frac{8}{125} \\ v = \frac{8V}{125}$

Mas a questão pede o volume do tronco de cone resultante, que será o volume do cone maior menos o volume do menor:

$V_{tc} = V - v = V - \frac{8V}{125} \\ V_{tc} = \frac{125V - 8V}{125} \\ \\ V_{tc} = \frac{117}{125} V$

(para este tronco de cone em particular)