Question

Um cone reto, com altura de 4 cm, é secionado por um
plano paralelo à sua base que está a uma distância h de
seu vértice. Qual é a medida, em centímetros, de h, para
que o cone e o tronco de cone obtidos dessa seção
tenham volumes iguais?​

Answer 1

A altura h do cone é 2∛ ̅4̅  cm.

• Observe a figura anexa e considere:

V: volume do cone de altura H (H = 4 cm)

R: raio da base do cone de altura H.

v: volume do cone de altura h.

r: raio da base do cone de altura h.

• O volume do cone é obtido calculando um terço do produto entre a área da base e sua altura.

$\large \sf V = \dfrac{A_B \times H}{3} = \dfrac{\pi R^2 \times H}{3} }$

$\large \sf v = \dfrac{A_b \times h}{3} = \dfrac{\pi r^2 \times h}{3} }$

• Observe que se o tronco e o cone de altura h têm o mesmo volume então o volume do cone de altura H é o dobro do volume do cone de altura h.

V = 2v

$\large \sf \dfrac{\pi R^2 \times H}{3} = 2 \cdot \dfrac{\pi r^2 \times h}{3} }$  ⟹ Multiplique ambos os membros por 3/π.

H⋅R² = 2h⋅r²

$\large \sf h = \dfrac{HR^2}{2r^2}$

$\large \sf h = \dfrac {H}{2} \cdot \left( \dfrac{R}{r} \right)^2$  ①

• Foi obtido o valor de h em função de r e R. Será necessário mais uma equação relacionando essas três variáveis.
• Observe na imagem anexa que os triângulos retângulos de catetos "H e R" e "h e r" são semelhantes pelo caso AA (ângulo/ângulo) pois ambos compartilham o mesmo ângulo no vértice do cone e possuem um ângulo reto. Portanto pode-se aplicar as razões de semelhança entre seus lados correspondentes.

$\large \sf \dfrac{R}{r} = \dfrac {H}{h}$

• Substitua essa equação na equação ①.

$\large \sf h = \dfrac {H}{2} \cdot \left( \dfrac{H}{h} \right)^2$

$\large \sf h = \dfrac{H^3}{2 \cdot h^2}$

$\large \sf h^3 = \dfrac{H^3}{2}$  ⟹ Substitua o valor de H.

$\large \sf h^3 = \dfrac{4^3}{2} = \dfrac{2^6}{2}$

h³ = 2⁵

$\large \sf h = \sqrt[3]{2^5}$

$\large \sf h = 2\sqrt[3]{2^2}$

$\large \sf h = 2\sqrt[3]{4} \ cm$

A altura h do cone é 2∛ ̅4̅  cm.

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