Question

um cone de 9 cm de altura possuindo raio de 2 cm, qual o volume utilizando o conceito de integral por revolução ?
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Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular o volume de um cone de $9~\mathbf{cm}$ de altura e raio de $2~\mathbf{cm}$, utilizando integral para calcular o volume de um sólido de revolução.

Existem duas maneiras de resolver esta questão: lembre-se que um cone é o sólido gerado pela revolução de um triângulo retângulo em torno de um dos eixos coordenados. A área da região que gera este triângulo retângulo é calculada sob o gráfico de uma função: uma reta.

Consideremos que este cone será gerado pela revolução da área sob uma reta em torno do eixo das abscissas. Sua altura será dada pela distância entre o vértice (origem do plano cartesiano) e o ponto $(9,~0)$. Seu raio será dado pela distância entre este ponto e o ponto $(9,~2)$.

Então, a reta deve passar pela origem, isto é, em $(0,~0)$ e em $(9,~2)$.

Nestas condições, facilmente podemos encontrar a equação da reta, utilizando a propriedade $y-y_0=m\cdot(x-x_0)$:

$y=\dfrac{2x}{9}$

Agora, lembre-se que: o volume de um sólido gerado pela revolução de uma região em torno de um eixo, que pode ser um dos eixos coordenados, em que esta região é a área sob uma curva $f(x)$, contínua em um determinado intervalo fechado $[a,~b]$, é calculada pela integral:

$V=\displaystyle{\pi\cdot\int_a^b[f(x)]^2\,dx$, para a revolução da região em torno do eixo das abscissas.

Neste caso, os limites de integração serão os pontos $x=0$ e $x=9$. Assim, teremos:

$V=\displaystyle{\pi\cdot\int_0^9\left(\dfrac{2x}{9}\right)^2\,dx$

Calcule a potência

$V=\displaystyle{\pi\cdot\int_0^9\dfrac{4x^2}{81}\,dx$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.

$V=\displaystyle{\dfrac{4\pi}{81}\cdot\int_0^9x^2\,dx$

Aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, ~n\neq-1$. Visto que esta é uma integral definida, não é necessário adicionar a constante de integração.

$V=\dfrac{4\pi}{81}\cdot\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^9$

Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a ^b=F(b)-F(a)$.

$V=\dfrac{4\pi}{81}\cdot\left(\dfrac{9^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}\right)$

Calcule as potências e some os valores entre parênteses

$V=\dfrac{4\pi}{81}\cdot\left(\dfrac{729}{3}-0\right)\\\\\\ V=\dfrac{4\pi}{81}\cdot\dfrac{729}{3}$

Multiplique as frações e simplifique

$V=\dfrac{2916\pi}{243}\\\\\\ V=12\pi~\mathbf{cm^3}$

Este é o volume deste cone.