Question

Um cone circular reto de geratriz 5 m e altura 4 m é acoplado numa posição vertical a uma esfera, de modo que sua base vazada descreve, na superfície da esfera, uma circunferência de raio igual ao raio do que seria a base do cone. Se a distância do vértice do cone ao centro da esfera mede 7 m, a área da superfície total dessa esfera é, em m²:

(Use π = 3.).
A) 216
B) 144
C) 432
D) 250

Answer 1

Resposta: A) 216 m²

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente podemos encontrar o raio da base do cone ao observarmos o triângulo retângulo formado pela altura de 4m, pela geratriz de 5m e pelo raio r (recomendo desenhar enquanto for lendo a explicação):

5² = 4² + r²

r² = 25 - 16

r² = 9

r = 3

Agora temos que a esfera inserida na base oca do cone é maior do que a concavidade. Podemos encontrar um triângulo retângulo se observarmos algum segmento de reta que ligue o centro da esfera até o ponto de tangência com o cone, sendo este o raio R da esfera, deste ponto até o centro da  base do cone, r = 3 m, e o segmento da base do cone até o centro da esfera, que me 7 - 4 = 3 m formando um ângulo de 90º com o raio da base. Deste triângulo obtemos R

R² = 3² + 3³

R² = 18

R = 3√2

Em posse de seu raio, temos que a área da superfície da esfera é dada pela equação

4 * π * r²

4 * 3 * 18

216 m²

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Bons estudos.

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