Question

Um cone circular reto, cujo raio da base é 3cm, está inscrito em uma esfera de raio 5cm. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera?
R: 16,2

Answer 1

Resposta:

O volume do cone corresponde a 16,2% do volume da esfera

Explicação passo-a-passo:

Seja $V_c$ e $V_e$ os volumes do cone e da esfera, respectivamente, tem-se

$V_c=\frac{\pi \cdot r^2\cdot h}{3}$ e

$V_e=\frac{4\pi R^3}{3}$

Perceba que para encontrarmos o volume do cone também precisamos da altura h = MD. De acordo com o nosso desenho no plano, temos que o ângulo LBD mede 90° (ângulo inscrito), logo o triângulo LBD é retângulo. Além disso temos que o segmento BM = 3 é perpendicular a hipotenusa do nosso triângulo LBD. Com isso poderemos usar as relações métricas, em específico a que nos afirma que

$(BM)^2=(LM)\cdot(MD)$

de acordo com o desenho, LM = 10 - MD

então

$(BM)^2=(LM)\cdot(MD)\Rightarrow 3^2=(10-MD)\cdot(MD)\Rightarrow \\\\ 10MD -(MD)^2=9\Rightarrow (MD)^2-10MD+9=0\Rightarrow \\\\ \Rightarrow MD = 1\ ou \ MD=9$

Como MD não pode ser igual a 1, concluímos que MD = 9 (altura)

Portanto, fazendo a razão entre $V_c\ e\ V_e$, encontraremos a porcentagem pedida.

Então,

$\frac{V_c}{V_e}=\frac{\frac{\pi \cdot r^2\cdot h}{3}}{\frac{4\pi R^3}{3}}=\frac{hr^2}{4R^3}=\frac{9\cdot 3^2}{4\cdot 5^3 }=\frac{81}{500}=0,162=\frac{16,2}{100}=16,2\% \Rightarrow \\\\ \Rightarrow \frac{V_c}{V_e}=16,2 \%$

*obs.: o desenho em 2D foi suficiente para obter os dados necessários