Question

Um colônia de bactérias tem uma população inicial de N(0) = 64. Sabe-se que a função de crescimento é dada pela seguinte função: n(t) = . Sendo n o número de bactérias e t o tempo em horas. Quanto tempo demorará para a colônia atingir uma população de 4096?

Answer 1

Resposta:

$4 h 9 min 30 s$

Explicação passo a passo:

Vamos supor que a rapidez do crescimento populacional dessa colônia é proporcional ao número de indivíduos (Modelo de Malthus).

Em "matematiquês":

$\frac{dn}{dt}=k\cdot n$

Podemos resolver essa equação diferencial, através do método de separação de variáveis.

$\frac{dn}{n}=k\cdot dt \Leftrightarrow \int\frac{1}{n} \,dn=k\cdot \int\,dt \Leftrightarrow ln(n)=k \cdot t$

Tomando a exponencial, obtemos

$e^{ln(n)}=e^{k\cdot t}\Leftrightarrow n=k\cdot e^{t}$

Sabemos que a população inicial é de 64 indivíduos, então

$n(0)=64=k\cdot e^{0}=k$

Com isso, conseguimos determinar a função que expressa a população em função do tempo. Vamos agora usar essa função para calcular o tempo t, para que n(t) = 4096.

$n(t)=4096=64\cdot e^t\Leftrightarrow ln\left(\frac{4096}{64} \right)=ln(e^{t})=t$

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$t=ln\left(\frac{4096}{64} \right)\approx 4 h 9 min 30 s$