Question

Um colecionador de cartões postais comprou vários exemplares de um cartão para presentear seus amigos, gastando 180 reais. Ganhou 3 cartões a mais de bonificação e com isso cada cartão ficou 3 reais mais barato. O número de cartões que ele comprou foi:

Answer 1

Vamos chamar de "x" o número de cartões iniciais e de "y" o valor inicial de cada cartão . Assim, temos que:

x * y = 180
y = 180 / x         ,para x ≠ 0

Agora, vamos somar 3 ao número "x" de cartões iniciais e vamos subtrair R$3,00 do valor inicial "y" de cada cartão. Assim, temos que:

(x + 3) * (y - 3) = 180
xy - 3x + 3y - 9 = 180

Vamos, substituir o valor de "y = 180/x" na equação acima, para determinar a quantidade "x" de cartões comprados.

xy - 3x + 3y - 9 = 180
x * (180/x) - 3x + 3 * (180/x) - 9 = 180
180 - 3x + (540/x) - 9 = 180
-3x + 180 - 180 - 9 + (540/x) = 0
-3x - 9 + (540/x) = 0

Vamos multiplicar a equação acima por "x" para eliminar o denominador.

-3x - 9 + (540/x) = 0    (*x)
-3x² - 9x + 540 = 0

Temos uma equação de segundo grau, vamos dividir a equação por (-3) para simplificar.

-3x² - 9x + 540 = 0  (÷ -3)
x² + 3x - 180 = 0

a = 1
b = 3
c = -180

Δ = b² - 4ac
Δ = 3² - 4 * 1 * (-180)
Δ = 9 + 720
Δ = 729

x' = (-b + √Δ) / 2a
x' = (-3 + √729) / (2 * 1)
x' = (-3 + 27) / 2
x' = 24 / 2
x' = 12

x'' = (-b - √Δ) / 2a
x'' = (-3 - √729) / (2 * 1)
x'' = (-3 - 27) / 2
x'' = (-30) / 2
x'' = -15

Como o número de cartões não pode ser negativo, a solução x" = -15 é descartada.

Portanto, o colecionador comprou 12 cartões e ganhou mais 3, totalizando 15 cartões.