Question

um círculo de 5 cm de raio está incristo em um hexágono regularm. Determine o perímetro ea área do hexágono.

alguém pode ajudar (polingolos regulares incritos e circunscrito)

Answer 1

Geysi,

Por gentileza, acompanhe o raciocínio na figura do anexo:

- OM é o raio do círculo inscrito no hexágono (5 cm)
- AB é lado do hexágono 
- M é o ponto médio do lado do hexágono e ponto de tangência do hexágono no círculo 
- AM = MB = AB/2
- ângulo MOB = 30º (pois o ângulo AOB mede 60º e OM é sua bissetriz)

Com estes dados, podemos calcular a medida de BM e, multiplicando por 2, a medida de AB, lado do hexágono:

O triângulo OMB é retângulo, OM e MB são seus catetos.

Neste triângulo:

OM = 5 cm, é um cateto, adjacente ao ângulo MOB = 30º
MB é um cateto, oposto ao ângulo MOB = 30º

Aplicando-se então a função trigonométrica tangente, temos:

tg 30º = MB/OM

0,577 = MB/5 cm

MB = 0,577 × 5 cm

MB = 2,885 cm

Então, o lado do hexágono mede:

AB = 2 × 2,885

AB = 5,77 cm

Com este dado, podemos calcular o perímetro (p) do hexágono:

p = 6 × 5,77 cm

p = 34,62 cm, perímetro do hexágono

A área (A) do hexágono é igual a:

A = 3 × (AB)² × √3 ÷ 2

A = 3 × 5,77² × 1,732 ÷ 2

A = 86,49 cm² (Área do hexágono)

R.: O perímetro do hexágono é igual a 34,62 cm e a sua área é igual a 86,49 cm²