Question

Um cilindro equilátero de raio da base r é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo e a uma distância d desse eixo. Calcule a medida da distância dy se a área da secção do plano com o cilindro é igual à área da base do cilindro.

Answer 1

Analisando a figura temos que a distância dy é dada por: $dy=\frac{r}{4}(\sqrt{16-\pi^2})$

Explicação passo-a-passo:

Anexei uma imagem para melhor compreensão.

A imagem se trata do cilindro observado por cima, precisamos saber qual o comprimento do lado que ele secciona do cilidnro com base em dy. Vemos que metade do lado da secção é um dos catetos do triangulo retangulo, onde r é o raio e o outro cateto é dy, então usando pitagoras:

$r^2=dy^2+(\frac{L}{2})^2$

$r^2-dy^2=(\frac{L}{2})^2$

$\frac{L}{2}=\sqrt{r^2-dy^2}$

$L=2\sqrt{r^2-dy^2}$

Este é então o valor da lateral do plano, agora sabemos que a outra lateral do plano é 2r, pois esta é a altura do cilindro que ele secciona, uma vez que este é um cilindro equilatero.

Então podemos tirar a área deste plano:

$A=2r.2\sqrt{r^2-dy^2}$

$A=4r\sqrt{r^2-dy^2}$

E como queremos que esta área seja igual a área da base do cilindro que é dada por:

$A=\pi r^2$

Igualando as duas:

$\pi r^2=4r\sqrt{r^2-dy^2}$

$\frac{r\pi}{4}=\sqrt{r^2-dy^2}$

$\frac{r^2\pi^2}{16}=r^2-dy^2$

$dy^2=r^2-\frac{r^2\pi^2}{16}$

$dy^2=r^2(1-\frac{\pi^2}{16})$

$dy^2=r^2(\frac{16-\pi^2}{16})$

$dy=r(\frac{\sqrt{16-\pi^2}}{4})$

$dy=\frac{r}{4}(\sqrt{16-\pi^2})$