Question

Um cilindro deve ser fabricado para conter 6 litros (dm³). Que dimensões (raio e altura) deve
ter este cilindro para custar o mínimo possível, conhecido os seguintes preços:
o material do fundo custa R$ 5,00/dm²;
o material do lado custa R$ 3,00/dm²;
o material da tampa custa R$ 2,00/dm²;

Answer 1

As dimensões que fazem o custo do tanque mínimo são 0,935 dm de raio e 2,18 dm de altura.

Quais são as dimensões que minimizam o custo do tanque?

Se o tanque é cilíndrico e tem 6 decímetros cúbicos (6 l) de volume, podemos estabelecer uma primeira equação:

$V=\pi.r^2.h$

Em que 'r' é o raio do tanque e 'h' é a altura. Tendo os custos por decímetro cúbico da tampa, do fundo e dos laterais, é possível estabelecer uma equação para o custo do tanque:

$C=5.\pi.r^2+2.\pi.r^2+2\pi.r.h.3\\\\C=7\pi.r^2+6\pi.r.h$

Utilizando a expressão do volume é possível colocar a altura do tanque em função do raio e substituir no custo:

$h=\frac{V}{\pi.r^2}\\\\C=7\pi.r^2+6\pi.r\frac{V}{\pi.r^2}\\C=7\pi.r^2+\frac{6V}{r}=\frac{7\pi.r^3+6V}{r}$

Para achar o raio com o qual o custo é mínimo devemos derivar esta função e igualar a derivada para zero:

$\frac{dC}{dr}=\frac{21\pi.r^2.r-7\pi.r^3-6V}{r^2}\\\\21\pi.r^2.r-7\pi.r^3-6V=0\\\\14\pi.r^3-6V=0\\\\r=\sqrt[3]{\frac{6V}{14\pi}}=\sqrt[3]{\frac{6.6dm^3}{14\pi}}\\\\r=0,935dm$

Com a expressão do volume podemos calcular a altura do tanque:

$V=\pi.r^2h\\\\h=\frac{V}{\pi.r^2}=\frac{6dm^3}{\pi.(0,935m)^2}=2,18m$

Mais exemplos de máximos e mínimos de funções em https://brainly.com.br/tarefa/19952377

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