Question

- Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura ao lado. Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro seja igual a 72 pi

Answer 1

O volume do cilindro é igual ao produto da área da base pela altura.

Perceba que a altura do cilindro é igual a 2x.

Sendo assim,

72π = πr².2x

xr² = 36 (*).

Perceba que podemos utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo mostrado na figura.

Assim,

25 = r² + x²

r² = 25 - x²

Substituindo o valor de r² em (*):

x(25 - x²) = 36

-x³ + 25x - 36 = 0

Observe que x = 4 é uma raiz da equação acima, pois:

-(4)³ + 25.4 - 36 = -64 + 100 - 36 = 0.

Assim, utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, obtemos:

(x - 4)(-x² - 4x + 9) = 0

Agora, precisamos calcular as raízes de -x² - 4x + 9 = 0. Para isso, utilizaremos a fórmula de Bháskara:

Δ = (-4)² - 4.(-1).9

Δ = 16 + 36

Δ = 52

$x=\frac{4+-\sqrt{52}}{2(-1)}$

x' = -2+√13

x'' = -2 - √13.

Portanto, podemos concluir que o maior valor de x é 4.