Question

Um cilindro circular reto com 7,5 cm de altura possui a mesma área lateral que um cone circular reto cuja geratriz mede10 cm. Considere que a área lateral do cone é dada por AL= π·g·R, em que g é a geratriz do cone e R é o raio da
base do cone, e que a medida do raio da base do cone é 2 cm
maior do que a medida do raio da base do cilindro. O volume
desse cilindro supera o volume do cone em
(A) 22π cm3
.
(B) 20π cm3
.
(C) 24π cm3
.
(D) 26π cm3
.
(E) 28π cm3
.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja R o raio da base do cilindro. Assim, o raio da base do cone é (R + 2)

=> Área lateral do cone

$\sf A_L=\pi\cdot r\cdot g$

$\sf A_L=\pi\cdot(R+2)\cdot10$

$\sf A_L=(10R+20)\cdot\pi$

A área lateral de um cilindro é dada por:

$\sf A_L=2\cdot\pi\cdot r\cdot h$

Assim:

$\sf A_L=2\cdot\pi\cdot R\cdot7,5$

$\sf A_L=15R\cdot\pi$

Igualando as áreas laterais:

$\sf 15R\cdot\pi=(10R+20)\cdot\pi$

$\sf 15R=10R+20$

$\sf 15R-10R=20$

$\sf 5R=20$

$\sf R=\dfrac{20}{5}$

$\sf R=4~cm$

O raio da base do cilindro mede 4 cm e o raio da base do cone mede 6 cm

=> Volume do cilindro

O volume de um cilindro é dado por:

$\sf V=\pi\cdot r^2\cdot h$

Assim:

$\sf V=\pi\cdot4^2\cdot7,5$

$\sf V=\pi\cdot16\cdot7,5$

$\sf V=120\pi~cm^3$

=> Altura do cone

Pelo Teorema de Pitágoras:

$\sf h^2+r^2=g^2$

$\sf h^2+6^2=10^2$

$\sf h^2+36=100$

$\sf h^2=100-36$

$\sf h^2=64$

$\sf h=\sqrt{64}$

$\sf h=8~cm$

=> Volume do cone

O volume de um cone é dado por:

$\sf V=\dfrac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}$

Assim:

$\sf V=\dfrac{\pi\cdot6^2\cdot8}{3}$

$\sf V=\dfrac{\pi\cdot36\cdot8}{3}$

$\sf V=\dfrac{288\pi}{3}$

$\sf V=96\pi~cm^3$

O volume do cilindro supera o volume do cone em $\sf 120\pi-96\pi=\red{24\pi~cm^3}$

Letra C