Question

Um chefe de restaurante dispõe de 8 tipos de carnes diferentes para montar seu cardápio para uma festa, dos quais 3 são peixes. De quantas maneiras diferentes ele poderá montar o cardápio com 5 tipos de carne, se obrigatoriamente deverá colocar ao menos um tipo de peixe?

Answer 1

Temos então 3 tipos de peixe e 5 outros tipos de carne.

Perceba que, a montagem do cardápio não precisa levar em conta a ordem das carnes servidas, ou seja, um cardápio com as as carnes A,B,C,D,E é o mesmo que um cardápio E,D,C,B,A.

Dito isso, podemos então utilizar combinações neste exercício.

Podemos então ter 3 situações:

--> Cardapio1 com 1 peixe e 4 outras carnes

--> Cardápio2 com 2 peixes e 3 outras carnes

--> Cardápio3 com 3 peixes e 2 outras carnes

Cardapio1: Teremos então de escolher 1 entre os 3 peixes e 4 entre as 5 outras carnes, logo:

$Cardapio_1~=~^{Numero~de~maneiras}_{de~escolher~os~Peixes}~\times~^{~~~Numero~de~maneiras}_{de~escolher~outras~Carnes}\\\\\\Cardapio_1~=~C_{3,1}~.~C_{5,4}\\\\\\Cardapio_1~=~\frac{3!}{1!\,.\,(3-1)!}~.~\frac{5!}{4!\,.\,(5-4)!}\\\\\\Cardapio_1~=~\frac{3!}{1\,.\,2!}~.~\frac{5!}{4!\,.\,1!}\\\\\\Cardapio_1~=~\frac{6}{2}~.~\frac{120}{24}\\\\\\Cardapio_1~=~3~.~5\\\\\\\boxed{Cardapio_1~=~15~maneiras}$

Cardapio2: Teremos então de escolher 2 entre os 3 peixes e 3 entre as 5 outras carnes, logo:

$Cardapio_2~=~^{Numero~de~maneiras}_{de~escolher~os~Peixes}~\times~^{~~~Numero~de~maneiras}_{de~escolher~outras~Carnes}\\\\\\Cardapio_2~=~C_{3,2}~.~C_{5,3}\\\\\\Cardapio_2~=~\frac{3!}{2!\,.\,(3-2)!}~.~\frac{5!}{3!\,.\,(5-3)!}\\\\\\Cardapio_2~=~\frac{3!}{2\,.\,1!}~.~\frac{5!}{6\,.\,2!}\\\\\\Cardapio_2~=~\frac{6}{2}~.~\frac{120}{12}\\\\\\Cardapio_2~=~3~.~10\\\\\\\boxed{Cardapio_2~=~30~maneiras}$

Cardapio3: Teremos então de escolher 3 entre os 3 peixes e 2 entre as 5 outras carnes, logo:

$Cardapio_3~=~^{Numero~de~maneiras}_{de~escolher~os~Peixes}~\times~^{~~~Numero~de~maneiras}_{de~escolher~outras~Carnes}\\\\\\Cardapio_3~=~C_{3,3}~.~C_{5,2}\\\\\\Cardapio_3~=~\frac{3!}{3!\,.\,(3-3)!}~.~\frac{5!}{2!\,.\,(5-2)!}\\\\\\Cardapio_3~=~\frac{3!}{3\,.\,0!}~.~\frac{5!}{2\,.\,3!}\\\\\\Cardapio_3~=~\frac{6}{6}~.~\frac{120}{12}\\\\\\Cardapio_3~=~1~.~10\\\\\\\boxed{Cardapio_3~=~10~maneiras}$

Resposta: Somando o numero de maneiras de montagem dos 3 tipos de cardapio, teremos 55 maneiras diferentes.