Question

Um certo jogo tem um vencedor quando este atinge 3 pontos à frente do oponente. 2 jogadores A e B
estão jogando e, num determinado momento, A está 1 ponto à frente de B. Os jogadores têm probabilidades
iguais de obter 1 ponto. Qual é a probabilidade de A vencer o jogo?
(A)1/2
(B)2/3
(C)3/4
(D)4/5
(E)5/6

Answer 1

Para o jogador A ganhar o jogo, é necessário que ele vença 2 vezes seguidas. Afinal, ele está 1 ponto à frente de B, e para vencer é necessário estar 3 pontos à frente.

Se os jogadores possuem probabilidades iguais de ganhar 1 ponto, cada jogador possui 50% de chance. 100% / 2 = A porcentagem de cada jogador.

50% = 50/100

50/100 = 0,5

0,5 x 0,5 = 0,25

0,25 = 25/100

25/100 = 25%

25% = 1/4

O jogador A tem 1/4 ou 25% de chance de vencer o jogador B.

Não possui alternativa correta.

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Answer 2

Seja $P(n)$  a probabilidade do jogador A ganhar com $n$ pontos de vantagem:

Primeiramente, veja que P(0) = 1/2, poís nenhum dos jogadores têm vantagem sobre o outro.

Agora pra calcular P(1), temos 2 casos:

O jogador B ganha um ponto, o que tem prababilidade 1/2 de acontecer, neste caso ambos jogadores ficam com a mesma pontuação, e a probabilidade do jogador A ganhar volta a ser P(0)

O jogador A ganha um ponto, o que tem probabiliade 1/2 de acontecer, neste caso a probabilidade do jogador A ganhar fica P(2), poís ele tem 2 pontos de vantagem.

Logo P(1) = (1/2)P(0) + (1/2)P(2)

Analogamente, pra calcular P(2), temos 2 casos:

O jogador B ganha um ponto, o que tem probabilidade 1/2 de acontecer, neste caso a probabilidade do jogador A ganhar, volta a ser P(1)

O jogador A ganha um ponto, o que tem probabilidade 1/2 de acontecer, neste caso o jogador A ganha.

Logo P(2) = (1/2)P(1) + 1/2

Sistema de equações:

P(0) = 1/2 (i)

P(1) = 1/2.P(0) + (1/2)P(2) (ii)

P(2) = 1/2 + (1/2)P(1) (iii)

Substituindo (i) em (ii):

P(1) = 1/4 + (1/2)P(2) (iv)

Substituindo (iii) em (iv)

P(1) = 1/4 + 1/2[1/2 + (1/2)P(1)] ⇔ P(1) = 1/4 + [P(1) +1)]/4 ⇔ P(1) - P(1)/4 = 1/4 + 1/4 ⇔ 3P(1)/4 = 2/4 ⇔ P(1) = 2/3

Alternativa B