Question

Um certo comerciante vende pelo menos um smartphone todos os dias. Durante 300 dias ele vendeu exatamente 450 smartphones.

Mostre que o comerciante vendeu exatamente 148 smartphones em dias consecutivos.

_____________

Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Seja $\mathsf{x_{i}}$ o número de smartphones vendidos nos $\mathsf{i}$ primeiros dias. 

Assim, $\mathsf{x_{300}=450}$ e $\mathsf{x_i}$ é crescente, pois o comerciante vende pelo menos um smartphone por dia.

Considere $\mathsf{y_{i}=x_{i}+148}$. Queremos mostrar que existem $\mathsf{i}$ e $\mathsf{j}$, tais que $\mathsf{y_{i}=x_{j}}$, pois teríamos $\mathsf{x_{j}-x_{i}=148}$, ou seja, $\mathsf{148}$ smartphones vendidos entre os dias $\mathsf{i}$ e $\mathsf{j}$

Observando $\mathsf{x_{i}}$ e $\mathsf{y_{i}}$, vemos que há $\mathsf{300+300=600}$ números, dos quais o maior é $\mathsf{y_{300}=450+148=598}$

Pelo Princípio das Casas de Pombo, se você precisar colocar $\mathsf{N+1}$ pombos ou mais em $\mathsf{N}$ casas, então alguma casa vai ter que conter dois ou mais pombos.

Temos $\mathsf{600}$ pombos e $\mathsf{598}$ casas, logo, alguma casa conterá dois ou mais pombos.

Desse modo, $\mathsf{\exists~i,j~|~y_{i}=x_{j}}$, e portanto, o comerciante vendeu exatamente $\mathsf{148}$ smartphones em dias consecutivos.