Question

Um cateto de um triângulo retângulo tem o dobro da medida do outro cateto. Encontre a razão entre o maior e o menor dos segmentos determinados pela altura sobre a hipotenusa.

Answer 1

Os segmentos desejados são as projeções ortogonais (m e n) dos catetos (b e c), respectivamente, sobre a hipotenusa (a).

Cateto menor (c): x
Cateto maior (b): 2x
Hipotenusa: a


Aplicando o teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²
a² = (2x)² + (x)²
a² = 4x² + x²
a² = 5x²
a = √5x²
a = x√5


Descobrindo as medidas das projeções (segmentos):

Pelas relações métricas do triângulo retângulo, temos:

Valor de m (segmento maior):

b² = m.a
(2x)² = m . x√5
4x² = m . x√5
m = $\frac{4x^{2}}{x\sqrt{5}}$

m =  $\frac{4x}{\sqrt{5}}$

Racionalizando:

m = $\frac{4x}{\sqrt{5}}$ . $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

m = $\frac{4x \ . \ \sqrt{5}}{\sqrt{5} \ . \ \sqrt{5}}$

m = $\frac{4x\sqrt{5}}{5}$


Valor de n (segmento menor):

c² = n.a
(x)² = n . x√5
x² = n . x√5
n = $\frac{x^{2}}{x\sqrt{5}}$

n =  $\frac{x}{\sqrt{5}}$

Racionalizando:

n = $\frac{x}{\sqrt{5}}$ . $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

n = $\frac{x \ . \ \sqrt{5}}{\sqrt{5} \ . \ \sqrt{5}}$

n = $\frac{x\sqrt{5}}{5}$


Razão entre o maior e o menor segmento:

R = $\frac{m}{n}$

R = $\frac{\frac{4x\sqrt{5}}{5}}{\frac{x\sqrt{5}}{5}}$

Aplicando a regra da divisão de frações:

R = $\frac{4x\sqrt{5}}{5}$ . $\frac{5}{x\sqrt{5}}$

Simplificando (cortando - cancelando - os radicais, os 5 e os x):

R = 4


Portanto:

A razão entre o maior e o menor segmento é 4.

Answer 2

Resposta:

Os segmentos desejados são as projeções ortogonais (m e n) dos catetos (b e c), respectivamente, sobre a hipotenusa (a).

Cateto menor (c): x

Cateto maior (b): 2x

Hipotenusa: a

Aplicando o teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

a² = (2x)² + (x)²

a² = 4x² + x²

a² = 5x²

a = √5x²

a = x√5

Descobrindo as medidas das projeções (segmentos):

Pelas relações métricas do triângulo retângulo, temos:

Valor de m (segmento maior):

b² = m.a

(2x)² = m . x√5

4x² = m . x√5

m =  

m =  

Racionalizando:

m =  .  

m =  

m =  

Valor de n (segmento menor):

c² = n.a

(x)² = n . x√5

x² = n . x√5

n =  

n =  

Racionalizando:

n =  .  

n =  

n =  

Razão entre o maior e o menor segmento:

R =  

R =  

Aplicando a regra da divisão de frações:

R =  .  

Simplificando (cortando - cancelando - os radicais, os 5 e os x):

R = 4

Portanto:

A razão entre o maior e o menor segmento é 4

Explicação passo-a-passo: