Question

Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se o irmão mais novo não deve ficar ao lado do irmão mais velho, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?​

Answer 1

Primeiramente, posicionemos os 6 indivíduos sem restrição:
$P_6 = 6! = 720$ maneiras.

Agora, vamos contar de quantos modos podemos deixar os 2 irmãos JUNTOS, já que depois basta subtrair do total os modos em que os 2 irmãos estão juntos, resultando nos modos com os irmãos separados. Para isso, basta colocá-los em um bloco e posteriormente permutar esse bloco com os outros 4 elementos da família (permutação de 5 elementos), então os irmãos estarão sempre juntos
$P_5 = 5! = 120$

Perceba que a permutação acima considerou o bloco como uma posição única, digamos, $(i_1, i_2)$ sendo i um dos irmãos. Porém falta a outra posição $(i_2, i_1)$, então basta duplicar a quantidade de permutações que consideravam só uma das posições:
$120 \cdot 2 = 240$

Há 240 modos de posicionar os irmãos JUNTOS.

Logo, há $720 - 240 = 480$ modos de posicionar os irmãos separados.