Question

Um carro parte do ponto A na Av. Andrômeda, conforme mostra o esquema a seguir, e o GPS indica ao motorista que ele deverá fazer uma curva à direita a 450 m.


a) Em qual rua ele irá entrar?


b) Qual é a menor distância, a que liga os pontos


A e B ou a que liga os pontos C e D?

Answer 1

Resposta:

a) Rua Ursa Maior; b) Entre os pontos A e B

Explicação passo a passo:

Há vários métodos que podem ser utilizados para resolver essa questão, desde geometria plana até analítica. Vamos usar uma ferramenta muito simples aqui para resolução, acho que ficará mais fácil o entendimento.

Bom, sabemos que o carro se desloca 450 m na Av. Andrômeda que está na horizontal antes de virar. Analisando o gráfico percebemos que do ponto A até a Rua Antares a distância é de 180 m, logo, ele deverá percorrer mais 270 m para completar os 450 m até virar. No entanto não conhecemos a distância horizontal até as próximas ruas, mas sabemos as distâncias entre elas na reta inclinada logo acima.

Para descobrirmos a distância da rua Antares até a próxima (rua Ursa Maior) vamos utilizar o método de comparação de triângulos semelhantes, pois se reparar irá notar que se formam triângulos tendo como base uma linha horizontal contida entre a origem e as ruas e uma linha inclinada. Tente visualizar o primeiro triângulo formado pela linha inclinada partindo de "D" até a rua Antares, que mede 200 m, a base desse triângulo é igual a projeção da distância entre "A" e a rua Antares, sua altura não importa nesse caso, mas ela é dada pela própria rua Antares contida entre a linha inclinada e a base. Bom, temos o primeiro triângulo, com base igual a 180 m e hipotenusa igual a 200 m. O segundo triângulo será o contido entre as ruas Antares e Ursa Maior, com base desconhecida, vamos chamar de "b" e hipotenusa igual a 300 m. Como são triângulos semelhantes, com mesmos ângulos internos, podemos comparar suas dimensões de forma direta, ou seja, posso dizer que a hipotenusa de um está para a sua base, assim como a hipotenusa do outra está para a base dele, ou seja, a relação entre 200 e 180, deve ser igual a relação entre 300 e "b", escrevemos assim:

$\frac{200}{180} =\frac{300}{b}$

Queremos descobrir o valor de "b", vamos tentar isola-lo. Primeiro multiplicamos os dois lados por "b", afim de tira-lo do denominador, fica assim:

$\frac{200}{180}.b =\frac{300}{b}.b$

$\frac{200}{180}.b =300.\frac{b}{b}$

$\frac{200}{180} b=300$

Agora vamos multiplicar os dois lados por 180:

$\frac{180}{180} .200b=300.(180)$

$200b=54000$

Dividindo os dois lados por 200:

$\frac{200}{200} .b=\frac{54000}{200}$

$b=270m$

Ora, como 180+270 são 450, então já podemos responder que o carro virou na rua Ursa Maior, letra a) da questão.

A letra b, nos pede qual a menor distância, entre A e B ou entre C e D, de forma similar a questão anterior, precisamos antes de responder, descobrir a distância entre as ruas Ursa Maior e Estrela Polar, na horizontal, ou seja, na Av. Antares. Como no caso anterior, podemos comparar os triângulos, vamos utilizar o mesmo usado na questão anterior, agora comparado com o triângulo formado entre as ruas Ursa Maior e Estrela Polar, só que para não confundir vamos chamar a distância entre essas ruas de "c", fica assim:

$\frac{200}{180} =\frac{250}{c}$

Multiplicando por "c":

$\frac{200}{180} c=250$

Multiplicando por 180:

$200c=250.(180)$

Dividindo por 200:

$c=\frac{45000}{200}$

$c=225m$

Agora conhecemos todas a distâncias, basta soma-las e comparar pra saber qual é menor.

Entre D e C:

$DC=200+300+250=750m$

Entre A e B:

$AB=180+270+225=675m$

$675 < 750$

A menor distância é a que liga os pontos A e B, medindo 675 m, resposta da questão b)