Question

Um carro desloca-se em linha reta obedecendo à função posição f(t) = t4 + cos t , t ≥ 0. Determine: A) Sua velocidade em função de t. B) Sua aceleração em função de t. C) Sua velocidade em t = 0.

Answer 1

Temos a seguinte que expressa o a distância de um certo carro num instante "t" de tempo:

$\sf f(t) = t {}^{4} + cos(t) \rightarrow t \geqslant 0$

A partir dessa função a questão nos pergunta:

• A) Sua velocidade em função de t.

Lá na física, aprendemos que a derivada da função espaço é igual a velocidade e por conseguinte a derivada da função velocidade é a aceleração.

$\sf \frac{d}{dt} f(t) \longrightarrow v(t) \longleftrightarrow \sf \frac{d}{dt} v(t) \longrightarrow a(t) \: \:$

Então para encontrarmos a velocidade, basta derivar essa função apenas uma vez:

$\sf \frac{d}{dt} f(t) = \frac{d}{dt} [ t {}^{4} + cos(t) ]$

A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas de cada uma delas $\sf \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)]$, aplicando essa propriedade:

$\sf \frac{d}{dt} f(t) = \frac{d}{dt} t {}^{4} + \frac{d}{dt} cos(t)$

Para derivar essas expressões, devemos lembrar da regra da potência e a derivada do cosseno, ambas dadas por:

$\star \: \: \: \sf pot\hat{e}ncia : \: \: \: \frac{d}{dx}x {}^{n} = n.x {}^{n - 1} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \star \: \: \: cosseno : \frac{d}{dx} cos(x) = - sen(x). \frac{d}{dx} (x)$

Aplicando:

$\: \: \: \: \: \: \sf \frac{d}{dt} f(t) = \frac{d}{dt} t {}^{4} + \frac{d}{dt} cos(t) \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf v(t)=4 t {}^{4 - 1} + [ - sen(t)]. \frac{d}{dt}( t) \\ \\ \sf v(t) = 4t {}^{3} - sen(t).1 \\ \\ \boxed{\sf v(t) = 4t {}^{3} - sen(t)}$

Essa é a função velocidade.

• B) Sua aceleração em função de t:

A única coisa diferente que devemos saber é que a derivada do seno é diferente da derivada do cosseno:

$\sf \frac{d}{dt} sen(x) = cos(x). \frac{d}{dx} (x)$

Aplicando essa nova regra e as anteriores, temos que:

$\sf \frac{d}{dt} v(t) = \frac{d}{dt} 4t {}^{3} - \frac{d}{dt} sen(t) \\ \\ \sf a(t)= 3.4t {}^{3 - 1} - [cos(t)] . \frac{d}{dt} (t) \\ \\ \sf a(t) = 12t {}^{2} - cos(x).1 \\ \\ \boxed{\sf a(t) = 12t {}^{2} - cos(x)}$

Essa é a função da aceleração.

• C) Sua velocidade em t = 0.

Para encontrar essa velocidade, basta substituir o valor de "t" no local do mesmo na função da velocidade.

$\sf v(t) = 4t {}^{3} - sen(x) \\ \sf v(0) = 4.0 {}^{3} - sen(0) \\ \sf v(0) = 0 - 0 \\ \boxed{\sf v(0) = 0}$

Espero ter ajudado