Question

Um carro A está indo rumo ao oeste a uma velocidade de 70 Km/h e um outro carro B ao norte a 80 Km/h. Ambos se dirigem a para a interseção das duas estradas. A que taxa os carros estão se aproximando um do outro quando o carro A está a 3 km e o carro B a 4000 metros da interseção?

Answer 1

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⠀⠀☞ Os carros estão se aproximando a uma taxa de 106 km/h. ✅  

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⠀⠀ Inicialmente temos que o ângulo formado entre a trajetória do carro A indo rumo ao oeste e do carro B indo rumo ao norte é igual à 90º. Com isso podemos, através do Teorema de Pitágoras e tendo a intersecção das duas estradas como terceiro vértice, encontrar a distância entre eles em função do tempo:

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$\LARGE\blue{\sf s_{ab}(t)^2 = s_a(t)^2 + s_b(t)^2}$

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$\LARGE\blue{\sf s_{ab}(t) = \sqrt{s_a(t)^2 + s_b(t)^2}}$

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⠀⠀Sabemos que a equação para a velocidade de um objeto pode ser encontrada através da derivação da equação da posição. Derivemos portanto nossa recém-encontrada equação da posição:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf v_{ab} = d\dfrac{s_{ab}(t)}{dt} = d\dfrac{((s_a(t)^2 + s_b(t)^2)^{1/2})}{dt} }}$

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⠀⠀Seja:  

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~U = s_a(t)^2 + s_b(t)^2\\\\ \sf~d\dfrac{U}{dt} = 2s_a(t) \cdot \dfrac{ds_a(t)}{dt} + 2s_b(t) \cdot \dfrac{ds_b(t)}{dt}\end{cases}}$  

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⠀⠀Substituindo as variáveis teremos:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf v_{ab} = d\dfrac{(U^{1/2})}{dt} }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf v_{ab} = \dfrac{1}{2U^{1/2}} \cdot d\dfrac{U}{dt} }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf v_{ab} = \dfrac{dU/dt}{2U^{1/2}} }}$

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⠀⠀Devolvendo as variáveis temos:

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$\large\gray{\boxed{\sf\blue{~~v_{ab} = \dfrac{2s_a(t) \cdot ds_a(t)/dt + 2s_b(t) \cdot ds_b(t)/dt}{2 \cdot \sqrt{s_a(t)^2 + s_b(t)^2}}~~}}}$

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⠀⠀Sabemos que:

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~s_a(t) = 3~[km]\\\\ \sf~s_b(t) = 4~[km]\\\\ \sf~\dfrac{ds_a(t)}{dt} = 70~[km/h]\\\\ \sf~\dfrac{ds_b(t)}{dt} = 80~[km/h]\end{cases}}$

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⠀⠀Portanto:

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$\Large\blue{\text{ \sf v_{ab} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 70 + 2 \cdot 4 \cdot 80}{2 \cdot \sqrt{3^2 + 4^2}} }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf v_{ab} = \dfrac{420 + 640}{2 \cdot \sqrt{25}} }}$

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$\LARGE\blue{\sf v_{ab} = \dfrac{1.060}{2 \cdot 5}}$

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$\LARGE\blue{\sf v_{ab} = \dfrac{1.060}{10}}$

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$\LARGE\blue{\sf v_{ab} = 106~km/h}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{v_{ab}}~\pink{=}~\blue{ 106~km/h }~~~}}$ ✅  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$  

⠀⠀☀️ Leia mais sobre derivação:  

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/37918644

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁  

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$  

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄  

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍  

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$