Question

Um carrinho de controle de 1,0 kg parte do repouso sob a ação de uma força constante paralela à trajetória e 5,0 s depois atinge a velocidade a velocidade de 7,0 m/s. Determine a energia cinética no instante inicial e no instante 5,0 s e o trabalho da força, suposta única, que atua no carrinho no intervalo de tempo referido.

Answer 1

Após os devidos procedimentos, contatamos que nessas circunstâncias esse carrinho nos instantes 0 e 5 segundos, terá energia cinética igual a, respectivamente, 0 e 12,5 J.

Calculamos também que o trabalho realizado pela força que atua no mesmo foi de 24,5 J.

Inicialmente calcularemos a energia cinética, isto é, a capacidade do corpo realizar trabalho em cada nos dois instantes. Para isso usaremos a seguinte relação:

$E_c = \dfrac{mv^2}{2}\\\\\\ E_c - \mathsf{energia ~cin\acute{e}tica}\\ m - \mathsf{massa}\\ v - \mathsf{velocidade}$

Calculamos a energia cinética no instante 0 s:

$E_{c0} = \dfrac{1\cdot 0^2}{2}\\\\ E_{c0} = \dfrac{1\cdot 0}{2}\\\\ E_{c0} = \dfrac{0}{2}\\\\\\ \boxed{\underline{\overline{E_{c0} = 0 ~\mathsf{J}}}}$

Agora no instante 5 s:

$E_{c5} = \dfrac{1\cdot 5^2}{2}\\\\ E_{c5} = \dfrac{1 \cdot 25}{2}\\\\ E_{c5} = \dfrac{25}{2}\\\\\\ \boxed{\underline{\overline{E_{c5} = 12{,}5 ~\mathsf{J}}}}$

Para calcular o trabalho exercido por essa força, temos que inicialmente encontrar a intensidade dessa força.

Começaremos descobrindo a aceleração do corpo. Para isso, sabemos que se trata de um movimento uniformemente variado (MUV), já que a aceleração é constante.

Usaremos a seguinte relação:

$v = v_0 + a\cdot t\\\\\\ v_0, v - \mathsf{velocidade ~inicial ~e ~final}\\ a - \mathsf{acelerac_{\!\!,}\tilde{a}o}\\ t - \mathsf{tempo}$

Aplicando os valores dados na questão, teremos (lembre-se que como ele parte do repouso, sua velocidade inicial é 0 m/s):

$7 = 0 + a \cdot 5\\ 5a = 7\\\\ a = \dfrac{7}{5}\\\\ \underline{a = 1{,}4 ~\mathsf{m/s}^2}$

Agora a intensidade da força:

$F = m \cdot a\\ F = 1 \cdot 1{,}4\\\\ \underline{F = 1{,}4 ~\mathsf{N}}$

O trabalho dessa força pode ser calculada pela relação:

$\tau = F \cdot d \cdot cos\theta\\\\\\ \tau - \mathsf{trabalho}\\ F - \mathsf{forc_{\!\!,}a}\\ d - \mathsf{dist\hat{a}ncia}$

*$\theta$ é o ângulo formado entre a direção da força e a direção do deslocamento, nesse caso é 0º, e o cosseno de 0 é igual a 1.

Perceba que temos de saber qual foi o deslocamento do corpo, para isso usaremos a equação horária da posição:

$S_t = S_0 + V_0 \cdot t\cdot \dfrac{at^2}{2}$

Aplicando os dados que temos:

$S_5 = 0 + 0\cdot 5\cdot \dfrac{1{,}4 \cdot 5^2}{2}\\\\ S_5 = \dfrac{1{,}4 \cdot 25}{2}\\\\ S_5 = \dfrac{35}{2}\\\\ \underline{S_5 = 17{,}5 ~\mathsf{m}}$

E finalmente, calculamos o trabalho feito por essa força:

$\tau = 1{,}4 \cdot 17{,}5 \cdot 1\\\\ \boxed{\underline{\overline{\tau = 24{,}5 ~\mathsf{J}}}}$

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