Question

Um carpinteiro recebeu a missão de construir uma caixa aberta de fundo quadrado. O material usado para fazer os lados da caixa custa R$ 3,00 o metro quadrado e o material usado para fazer o fundo custa R$ 4,00 o metro quadrado. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que pode ser construída por R
R$
60,00?

Answer 1

Para o maior volume possível com estes valores de materiais teremos √6 [m] na aresta da base e √(3/2) [m] de altura.

Para realizar este exercício vamos utilizar uma desigualdade de médias e um sistema de duas equações e duas variáveis.

Modelando o problema

Vamos inicialmente chamar a aresta do quadrado da face inferior de x. Vamos também chamar a altura desta caixa de y. Temos, portanto, 4 faces laterais de área xy e 1 face inferior de área x².

Otimização de volume e desiguladade de médias

Sendo assim, sabemos pela desigualdade de médias MA ≥ MG que:

(2xy + 2xy + x²) / 3 ≥ ∛4(x²y)²

O maior volume que iremos obter será quando a área for a menor possível, e isto ocorre quando 2xy = 2xy = x², daonde obtemos que:

y = x² / 2x

y = x / 2

Valor das áreas

Dos valores dados para o m² das 5 faces obtemos, respectivamente, que:

4 * x² + 3 * 4xy = 60

4x² + 12xy = 60

Sistema de equações

Substituindo o valor de y recém encontrado temos:

4x² + 12x * (x/2) = 60

4x² + 6x² = 60

10x² = 60

x² = 60 / 10

x = √6 [m]

A altura, portanto, será de:

y = √6 * (1/2)

y = √(6/4)

y = √(3/2) [m]

Continue estudando sobre otimização de volumes de paralelepípedos aqui: https://brainly.com.br/tarefa/53402255

#SPJ4