Question

Um capacitor é um equipamento que armazena carga elétrica. A carga em capacitor é acumulada segundo a função
Q(t)=a(1-e^-t/c)
Onde a e c são constantes físicas positivas e t é medido em segundos.
a)Qual é a carga inicial do capacitor?
b)Em que tempo a carga do capacitor será o dobro da carga inicial?
c)O "steady-state" da carga em um capacitor é o valor para o qual Q(t) se aproxima quando o tempo cresce muito. Determine este valor ​

Answer 1

Utilizando conceitos de funções assintoticas e limites, temos que:

a) 0.

b) 0,7c.

c) a.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte função carga:

$Q(t)=a.(1-e^{-\frac{t}{c}})$

E com isso podemos responder as questões:

a)Qual é a carga inicial do capacitor?

Para sabermos a carga inicial, basta substituir t por 0:

$Q(t)=a.(1-e^{-\frac{0}{c}})$

$Q(t)=a.(1-e^{0})$

$Q(t)=a.(1-1)$

$Q(t)=0$

Assim temos que esta carga inicial é 0.

b)Em que tempo a carga do capacitor será o dobro da carga inicial?

Neste caso queremos que o interior do parenteses seja igual a 0,5, então queremos que:

$(1-e^{-\frac{t}{c}})=0,5$

$e^{-\frac{t}{c}}=0,5$

Aplicando Ln dos dois lados:

$-\frac{t}{c}=Ln(0,5)$

$-\frac{t}{c}=-0,7$

$t=0,7c$

Assim ele chegará neste ponto no tempo de 0,7c.

c)O "steady-state" da carga em um capacitor é o valor para o qual Q(t) se aproxima quando o tempo cresce muito. Determine este valor .

Para isto basta fazermos o limite de quando o tempo vai para o infinito:

$lim_{t\rightarrow \infty}Q(t)=lim_{t\rightarrow \infty}a.(1-e^{-\frac{t}{c}})=a.(1-e^{-\frac{\infty}{c}})=a.(1-e^{-\infty})=a.(1-0)=a$

Assim temos que no infinito esta carga vale "a".