Question

Um canhão posicionado sobre um terreno completamente plano dispara um projéctil com velocidade inicial de 100m/s fazendo um agulo de 60º com a horizontal

Answer 1

a) o tempo total de voo do projétil deve ser de 17,32s, seguindo as equações da cinemática envolvendo a aceleração da gravidade.

b) a altura máxima do projétil se dá quando ele alcança 374,9m de altura.

c) quando o projétil atinge o solo, o vetor velocidade é de:

$\vec v=(50m/s) \vec i+(-86,6m/s) \vec j$

d) para que o projétil atinja um alvo a 500m de distância, tendo uma velocidade inicial de 100m/s, seu ângulo deve ser de 15°com a horizontal.

Lançamento oblíquo

Um lançamento oblíquo, na física, é dado por um lançamento de um corpo qualquer a partir de uma superfície plana que faz um ângulo com a horizontal.

Para este tipo de movimento tem-se, basicamente, apenas dois tipos de movimento: vertical e horizontal

Para o movimento horizontal apenas teremos o corpo percorrendo um espaço com velocidade constante, portanto segue-se as equações da cinemática para aceleração igual a zero.

Para o movimento vertical, há aceleração da gravidade, portanto, segue-se as equações de movimento da cinemática com aceleração diferente de zero.

Para a questão dada, tem-se que:

a) O tempo total de voo do projétil.

Tem-se que a velocidade inicial em y será de:

$v_{0y}=v_0.sen(\theta)\\\\v_{0y}=100m/s. \sqrt{3}/2\\\\v_{0y}=86,6m/s$

Portanto, com essa velocidade inicial, para que o objeto caia, ou seja, chegue no chão novamente, temos:

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{at^2}{2}$

Onde y0=0, y=0, v0=86,6m/s e a=-g

$0=0+86,6t-\frac{10t^2}{2}\\\\5t^2=86,6t\\\\t=17,32s$

Portanto, o corpo demora 17,32s para tocar o chão novamente.

b) O vetor posição do projétil quando o mesmo atinge sua altura máxima.

Ou seja, a posição do projétil quando sua altura é máxima.

Quando a altura do projétil for máxima, ele terá ficado no ar pela metade do tempo que ficou para cair, pois o mesmo tempo que ele ficará subindo, ficará descendo. Portanto:

Tempo de subida=t/2=17,32/2=8,66s

Aplicando novamente na equação, mas dessa vez com t=8,66, temos:

$y=y_0+v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}\\\\y_{max}=(86,6).(8,66)-5.(8,66)^2\\\\y_{max}=374,9m$

Portanto, a altura máxima do projétil é de 374,9m

c) O vetor velocidade quando o mesmo atinge o solo.

Ou seja, a velocidade do projétil antes de tocar o solo.

O vetor velocidade é dado por:

$\vec v=v_x \vec i +v_y \vec j$

A coordenada x da velocidade, como não há aceleração na horizontal, continuará a mesma desde o início do movimento, portanto:

$v_{0x}=v_0cos(\theta)\\\\v_{0x}=100m/s.0,5\\\\v_{0x}=50m/s$

Para a coordenada y, tem-se:

$v_y=v_{0y}-gt\\\\v_y=86,6-10.17,32\\\\v_y=-86,6m/s$

Portanto, o vetor velocidade:

$\vec v=(50m/s) \vec i+(-86,6m/s) \vec j$

d) Considere agora que o projétil deva atingir um alvo que está a uma distância de 500m do canhão. Qual deve ser o ângulo de tiro para que o projétil com velocidade inicial de módulo 100m/s possa atingir o alvo?

Para a distância máxima em x, tem-se:

$x_{max}=\frac{v_0^2.sen(2 \theta)}{g}\\\\500=\frac{100^2sen(2 \theta)}{10}\\\\sen(2 \theta)=0,5\\\\2 \theta=30 \°\\\\\theta =15\°$

Portanto, para alcançar 500m, o projétil deve ter 15° com a horizontal.

Segue a questão completa:

"Um canhão posicionado sobre um terreno completamente plano dispara um projétil com velocidade inicial de 100m/s fazendo um angulo de 60 com a horizontal. Considerando a posição inicial do canhão como origem do sistema de coordenadas e a aceleração de gravidade 10 m/s determine: a) O tempo total de voo do projétil b) O vetor posição do projétil quando o mesmo atinge a sua altura máxima c) O vetor velocidade quando o mesmo atinge o solo d) Considere agora que o projétil deve atingir um alvo que esta a 500m do chão. Qual deve ser o angulo de tiro que o projétil com velocidade inicial de 100m/s deve ter?"

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