Question

Um canhão pode atirar projéteis a uma velocidade de 100 m/s. Um alvo, no mesmo nível horizontal que o canhão, a uma distância de 900 m pode ser atingido pelo canhão? Se sim, quais os ângulos de tiro para que o alvo seja atingido?

Infelizmente sem o gabarito.

Minha solução:

O alcance horizontal é 900m

900 = 100 . cos β . t (i)

A componente vertical:

0 = 100. sen β - gt

O tempo de voo:

t = 200 . Sen β / g (ii)

(i) em (ii) :


900 = 100 . cos β . 200 . Sen β / g

900 = 20000 . Sen β . Cos β / g

900 = 2000 . Sen β . ( 1 - Sen^2 β )

900 = 2000 . Sen β - Sen^3 β

9 / 20 = Sen β - Sen^3 β

Sen β = x

9 / 2 = x - x^3

- x^3 + x - 9/2 = 0


Depois dessa parte eu não consegui prosseguir.


Desde já agradeço.

Answer 1

A altura do projétil é dada por

$y = v_0sen(\theta)t-\frac{gt^2}{2}\\\\v_y=100t*sen(\theta)-5t^2$

E a posição x...

$x = v_0cos(\theta)t = 100t*cos(\theta)$

Devemos isolar t para que tenhamos a função da trajetória no plano xy em função de theta.

$t = \frac{x}{100cos(\theta)}\\\\Substituindo\ em\ (1)...\\\\ y = \frac{100x*sen(\theta)}{100*cos(\theta)}-\frac{5x^2}{10000cos^2(\theta)}\\\\y=xtan(\theta)-\frac{x^2}{2000cos^2(\theta)}$

Os zeros dessa função (Onde o projétil está na mesma altura que o chão -> y=0) são

$x * (tan(\theta)-\frac{x}{2000cos^2(\theta)}) = 0\\\\x=0\\ou\\tan(\theta)-\frac{x}{2000cos^2(\theta)}=0\ \ \ \ (x=900)\\\\\frac{900}{2000cos^2(\theta)}=tan(\theta)\\\\tan(\theta)*cos^2(\theta)=\frac{9}{20}\\\\sen(\theta)*cos(\theta) = \frac{9}{20}\\\\2*sen(\theta)*cos(\theta) = \frac{9}{10}\\\\sen(2\theta)=\frac{9}{10}\\\\\theta=\frac{1}{2}*arcsen(\frac{9}{10})$

Veja que na penúltima linha, a expressão pode possuir 2 valores na primeira volta do círculo trigonométrico. O primeiro valor encontrado está no primeiro quadrante, então o segundo valor está no segundo quadrante e vale:

$2\theta_2=\pi-2\theta_1\\\\\theta_2=\frac{1}{2}*(\pi-arcsin(\frac{9}{10}))$

Resposta final

$\boxed{\theta_1=\frac{1}{2}*arcsen(\frac{9}{10})\ \ e\ \ \theta_2=\frac{1}{2}*(\pi-arcsin(\frac{9}{10}))}$