Question

Um canhão lança projéteis com velocidade de 60 m/s, formando um ângulo de 40° em relação a horizontal. Determine o alcance horizontal aproximado dos projéteis (em metros).

Answer 1

O alcance do canhão é de aproximadamente é de $\boldsymbol{ \displaystyle \sf X = 355\: m}$.

O lançamento oblíquo é uma junção de movimentos na vertical e horizontal. É arremessado a partir do chão e forma um determinado ângulo em relação à horizontal.

• A trajetória é uma parábola;
• Na direção horizontal, movimento retilíneo uniforme com velocidade igual a $\textstyle \sf V_{0_X}$;
• Na direção vertical ( MTUV ) com velocidade inicial $\textstyle \sf V_{0_y}$;
• $\textstyle \sf a = g$;
• O módulo da velocidade vertical $\textstyle \sf \overrightarrow{\sf V_y}$ diminui durante a subida e aumenta na descida;
• No ponto de altura máxima $\textstyle \sf (\: h_{\sf max} \: )$;

Dados fornecido pelo enunciado:

$\displaystyle \sf \begin{cases} \sf V_0 = m/s \\ \sf \theta = 40^\circ\\ \sf g = 10 \: m/s^2 \\ \sf A = X = \:?\: m \end{cases}$

O ângulo de lançamento que fornece o alcance máximo corresponde a 40°,

a partir da equação do alcance horizontal.

Para determinar o alcance máximo é dado por:

$\displaystyle \sf X = V_{0_X} \cdot t$

Determinar $\textstyle \sf V_{0_X}$:

$\displaystyle \sf V_{0_X} = V_0 \cdot \cos{ 30^\circ}$

$\displaystyle \sf V_{0_X} = 60 \cdot 0,77$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf V_{0_X} = 46,2\: m/s }$

Determinar $\textstyle \sf V_{0_y}$:

$\displaystyle \sf V_{0_y} = V_0 \cdot \sin{ 30^\circ}$

$\displaystyle \sf V_{0_y} = 60 \cdot 0,64$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf V_{0_y} = 38,4\: m/s }$

Determinar o tempo de subida,  na altura máxima $\textstyle \sf V_y = 0$: e  a = - g:

$\displaystyle \sf V_y = V_{0_y} + g \cdot t$

$\displaystyle \sf 0 = 38,4 -10 \cdot t$

$\displaystyle \sf 10 \cdot t = 38,4$

$\displaystyle \sf t = \dfrac{38,4}{10}$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf t = 3, 84 \: s }$

O tempo gasto pelo projéteis para atingir é o dobro do tempo de subida.

$\displaystyle \sf X = V_{0_X} \cdot t$

$\displaystyle \sf X = 46,2 \times\underbrace{ \sf2 \times3,84}_{\sf tempo ~ total}$

$\displaystyle \sf X = 354, 816$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf X \approx 355\: m }}}$

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