Question

Um canhão de luz, localizado num ponto L à altura h, em metro, em relação a um piso plano e horizontal, pode iluminar qualquer ponto de uma região circular do piso, com centro num ponto P e raio r, com PL perpendicular ao piso. Quando o canhão está em sua inclinação máxima com a vertical, que é de 60º, um ponto Q do piso é iluminado; quando sua inclinação é de 30º com a vertical, um ponto S do piso é iluminado tal que PS= r-6, em metro. Calcule a medida h.

Answer 1

Boa tarde!

Analisando 2 triângulos, com catetos h (ambos) e r e r-6, temos:
$\begin{cases}\tan{60^\circ}=\frac{r}{h}\\\tan{30^\circ}=\frac{r-6}{h}\end{cases}$

Resolvendo:
$\sqrt{3}=\frac{r}{h}\\r=h\sqrt{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{r-6}{h}\\r-6=\frac{\sqrt{3}}{3}h\\h\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}h=6\\h\left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=6\\h\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)=6\\h=\frac{6\cdot{3}}{2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

Espero ter ajudado!