Question

Um campo elétrico e dado por E = (x/2 + 2y)ax + 2xay (V/m). Encontre o trabalho realizado no movimento de uma carga pontual Q= -20μC (a) da origem a (4,0,0)m, e (b) de (,0,0)m para (4,2,0)m.​

Answer 1

O trabalho realizado foi

a)

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}\tau = q(\varphi(4,0,0) - \varphi(0,0,0)) = 20\cdot 4 \times 10^{-6}\\ \\\tau = 80\mu \text{J}\end{gathered}$

b)

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}\tau = q(\varphi(4,2,0) - \varphi(4,0,0)) = 20\cdot 16 \times 10^{-6}\\ \\\tau = 320\mu \text{J}\end{gathered}$

Como se trata de um campo conservativo, podemos calcular o trabalho por unidade de carga através da diferença de potencial entre os dois pontos, pois

                                        $\large\displaystyle\begin{gathered}\varphi_b - \varphi_a = - \int\limits_\gamma \vec{E} \cdot d\vec{l}\end{gathered}$

Onde gamma é uma curva qualquer com início no ponto a e final no ponto b, dessa forma, ao invés de calcularmos a integral e linha do campo vamos achar a função potencial e calcular a diferença de potencial entre os dois pontos. Sabemos que

                                                    $\large\displaystyle\begin{gathered}\vec{E} = -\nabla \varphi\end{gathered}$

O gradiente do potencial é igual ao campo elétrico, portanto, escrevendo de maneira explícita temos

                              $\large\displaystyle\begin{gathered}\left(\frac{x}{2} + 2y, 2x, 0\right)= -\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} , \frac{\partial \varphi}{\partial y} , \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)\end{gathered}$

Logo temos o seguinte sistema

$\large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\frac{x}{2} + 2y = -\frac{\partial \varphi}{\partial x}\\ \\2x = -\frac{\partial \varphi}{\partial y}\\ \\0 = -\frac{\partial \varphi}{\partial z}\end{cases}\end{gathered}$

Em que no caso, a ultima equação se torna trivial, integrando as duas primeiras equações podemos ver que

$\large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\varphi\left(x,y,z\right) = \int \left(\frac{x}{2} + y\right)\,dx =-\frac{x^2}{4}-2xy + a(y,z) \\ \\\varphi\left(x,y,z\right) = \int 2x\,dy = -2xy + b(x,z)\end{cases}\end{gathered}$

Analisando as duas equações chegamos que a(y,z) é nula e b(x,z) = x²/4, logo nosso potencial é

                                      $\large\displaystyle\begin{gathered}\varphi(x,y,z) = -\frac{x^2}{4} - 2xy \end{gathered}$

Note que nossa função potencial independe de z, apenas de xy. Note também que de fato o negativo do gradiente é o campo E.

Dessa forma, para o primeiro percurso temos que o trabalho por unidade de carga será

                          $\large\displaystyle\begin{gathered}\varphi(4,0,0) -\varphi(0,0,0) = -\frac{4^2}{4} = -4 \text{ J/C}\end{gathered}$

Para achar o trabalho de fato basta multiplicar o resultado acima pela carga q, logo

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}\tau = q(\varphi(4,0,0) - \varphi(0,0,0)) = 20\cdot 4 \times 10^{-6}\\ \\\tau = 80\mu \text{J}\end{gathered}$

Basta fazer o mesmo para o segundo percurso agora

                $\large\displaystyle\begin{gathered}\varphi(4,2,0) -\varphi(4,0,0) = -\frac{4^2}{4}- 16+\frac{4^2}{4} = -16 \text{ J/C}\end{gathered}$

Logo o trabalho é

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}\tau = q(\varphi(4,2,0) - \varphi(4,0,0)) = 20\cdot 16 \times 10^{-6}\\ \\\tau = 320\mu \text{J}\end{gathered}$

Considera-se aqui trabalho por unidade de carga positivo quando a energia é fornecida.

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/48479110