Question

Um caminhão e um carro estão em estradas diferentes que são perpendiculares e ambas são retas . O caminhão está se aproximando do cruzamento com velocidade de 60 Km/h e o carro está se afastando do cruzamento com uma velocidade de 100 Km/h . No instante em que o carro e o caminhão estão respectivamente a 5 Km e 12 km do cruzamento , eles estão se aproximando ou se afastando ? A que taxa ?Estão se afastando a taxa de 220/13 Km/h;Estão se aproximando a taxa de 22/3 Km/h;Estão se aproximando a taxa de 220/13 Km/h;Estão se afastando a taxa de 20/13 Km/h;

Answer 1

Chamemos o caminhão de A e o carro de B, e a variação da posição deles em relação ao tempo (suas velocidades) de dx/dt e dy/dt, respectivamente:

Logo:

dx/dt = -60 km/h (pois a distância diminui com o tempo)
dy/dt = 100 km/h (pois a distância aumenta com o tempo)


Temos essa configuração, que nos dá um triângulo retângulo:


  A
    |\
 x |  \  z
    |    \
    |___\    
       y   B


Queremos achar a taxa de variação de z, ou seja, dz/dt.

Sabemos quem é x e quem é y, são as distâncias de ambos os veículos em relação ao cruzamento em um dado instante de tempo.

x = 12 m
y = 5 m


Para determinar z, usamos Pitágoras:

z² = x² + y²
z² = (5)² + (12)²
z² = 25 + 144
z² = 169
z = √169

z = 13 m


Agora, aplicamos a derivação implícita em relação ao tempo na expressão z² = x² + y² para encontrarmos dz/dt:

Derivando:

z² = x² + y²

2z . dz/dt = 2x . dx/dt + 2y . dy/dt


Simplificando:

z . dz/dt = x . dx/dt + y . dy/dt


Substituindo os valores conhecidos, temos:

13 . dz/dt = 12 . (-60) + 5 . (100)
13 . dz/dt = -720 + 500
13 . dz/dt = -220

dz/dt = -220/13 km/h


Resposta: Estão se aproximando com taxa de 220/13 km/h.