Question

um caçador de 1,73 altura avista o topo de uma palmeira sob um angulo de 45º. apos se afastar 12 metros da palmeira , ele torna a avista-la sob um angulo de 30º . qualé a altura em metros aproximada dessa palmeira?

Answer 1

A situação da questão está representada na foto em anexo.

Montando as relações:

$\begin{cases}H=h+1,73\\x\cdot tg45=h\to x=h\\(12+x)\cdot tg30=h\to(12+x)\cdot\frac{\sqrt3}{3}=h\end{cases}$

Substituindo uma na outra:

$(12+x)\cdot\frac{\sqrt3}{3}=h\\\\(12+x)\cdot\frac{\sqrt3}{3}=x\\\\4\sqrt3+\frac{x\sqrt3}{3}=x\\\\4\sqrt3=x-\frac{x\sqrt3}{3}\\\\4\sqrt3=x\cdot(1-\frac{\sqrt3}{3})\\\\x=\frac{4\sqrt3}{1-\frac{\sqrt3}{3}}\\\\x=\frac{4\sqrt3}{\frac{3-\sqrt3}{3}}\\\\x=\frac{12\sqrt3}{3-\sqrt3}$

Racionalizando x:

$x=\frac{12\sqrt3}{3-\sqrt3}\cdot\frac{3+\sqrt3}{3+\sqrt3}\\\\x=\frac{36\sqrt3+36}{9-3}\\\\\boxed{x=\frac{18+18\sqrt3}{3}}$

$\boxed{h=x}$

$h=\frac{18+18\sqrt3}{3}$

$\boxed{\sqrt3\to1,73}$

$h\approx\frac{18+18\cdot1,73}{3}\\\\h\approx\frac{18+31,14}{3}\\\\\boxed{h\approx16,38}$

Lembrando que a altura da palmeira é H:

$H=h+1,73\\\\H\approx16,38+1,73\\\\\boxed{H\approx18,11\mbox{ }}$

Answer 2

Vamos chamar a altura da palmeira de h e a distância de x.

tan 45º = h/x ⇒ 1 = h/x ⇒ h = x  (1)

tan 30º = h/(12 + x)  ⇒ 0,577 = x/(12 + x) ⇒ 0,577(12 + x) = x

6,924 + 0,577x = x

6,924 = x - 0,577

0,423x = 6,924

x = 6,924/0,423

x = 16,37 m

Como x = h, temos: h = 16,37 + (altura do homem) 1,73 = 18,1 metros

Resposta:  a altura da palmeira é 18,1 metros

Espero ter ajudado