Question

Um brinquedo é composto por uma placa quadrangular dividida em ouros quatro quadrados. Cada quadrado é de uma única cor, entre as cores vermelho, azul, verde e amarelo. O brinquedo busca estimular a memorização de cores e sons. Os botões na cores vermelho, azul, verde e amarelo emitem sons harmônicos e se iluminam, em sequência e de forma aleatória. O objetivo dos jogadores é repetir o processo sem errar. No brinquedo, cada cor emite um único som, sendo os quatro sons distintos, de modo que basta decorar a sequência de cores, ou de sons, para avançar no jogo.
Uma pessoa está utilizando o brinquedo e se encontra na etapa em que é emitida uma sequência de 11 cores (e sons). Por desatenção, ela não viu as quatro primeiras cores, nem ouviu os quatro primeiros sons, mas sabe que, entre as cores seguintes, apareceram duas vezes a cor amarela, três vezes a cor azul, uma vez a cor vermelha e uma vez a cor verde.
A partir das observações, dessa pessoas, o número de possíveis sequência que podem ter ocorrido nessa etapa é

A) 2⁷ x A⁴₇
B) 2⁷ x C⁴₇
C) A²₇ x C²₅
D) 4 x A²₄ x C⁴₇
E) 4! x A²₇ x C²₅

Resposta troll é

Answer 1

Olá!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{A}}$

Explicação passo-a-passo:

Pensei no seguinte...

Dividamos exercício em dois momentos: uma para a contagem das quatro primeiras cores e outra para a contagem das possíveis sequências seguintes.

Sejam p1, p2, p3 e p4 o posicionamento das cores/sons emitidos inicialmente (quatro primeiras). Daí, temos as seguintes condições: todas cores são distintas; três cores são distintas; apenas duas cores; três cores iguais e todas as cores são iguais.

CONDIÇÃO I: por exemplo, (azul, vermelho, amarelo, verde)

Decisão (d): permutar quatro elementos entre si; $\displaystyle \mathtt{\# d = P_4}$

CONDIÇÃO II: por exemplo, (azul, azul, vermelho, amarelo)

Decisão um (d1): escolher uma cor para repetir; $\displaystyle \mathtt{\# d_1 = 4}$

Decisão dois (d2): escolher cores para compor a sequência, mas que sejam diferentes da escolhida em d1; $\displaystyle \mathtt{\# d_2 = 3}$

Decisão três (d3): permutar quatro cores entre si, sendo uma delas repetida; $\displaystyle \mathtt{\# d_3 = P_4^2}$

Daí, pelo Princípio Multiplicativo (PM), temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{4 \cdot 3 \cdot P_4^2 =} \\\\ \mathsf{12 \cdot \frac{4!}{2!} =} \\\\ \mathsf{12 \cdot (4 \cdot 3) =} \\\\ \boxed{\mathsf{144}}$

CONDIÇÃO III: por exemplo, (azul, azul, vermelho, vermelho)

Decisão um (d1): escolher uma cor para repetir; $\displaystyle \mathtt{\# d_1 = 4}$

Decisão dois (d2): escolher outra cor para repetir; $\displaystyle \mathtt{\# d_2 = 3}$

Decisão três (d3): permutar quatro cores entre si repetidas duas a duas; $\displaystyle \mathtt{\# d_3 = P_4^{2, 2}}$

Daí, pelo PM:

$\\ \displaystyle \mathsf{4 \cdot 3 \cdot P_4^{2,2} =} \\\\ \mathsf{12 \cdot \frac{4!}{2!2!} =} \\\\ \mathsf{12 \cdot (2 \cdot 3) =} \\\\ \boxed{\mathsf{72}}$

Porém, devemos considerar o fato de figurar DUAS cores em cada sequência, e, não contá-las duas vezes. Isto posto, devemos dividir o resultado encontrado por 2... Resultando em 36 possibilidades!

CONDIÇÃO IV: por exemplo, (azul, azul, azul, vermelho)

Decisão um (d1): escolher uma cor para repetir três vezes; $\displaystyle \mathtt{\# d_1 = 4}$

Decisão um (d2): escolher uma cor diferente da escolhida em d1; $\displaystyle \mathtt{\# d_2 = 3}$

Decisão dois (d3): permutar quatro cores repetidas três a três entre si; $\displaystyle \mathtt{\# d_3 = P_4^3}$

Daí, pelo PM:

$\\ \displaystyle \mathsf{4 \cdot 3 \cdot P_4^3 =} \\\\ \mathsf{12 \cdot \frac{4 \cdot 3!}{3!} =} \\\\ \mathsf{12 \cdot 4 =} \\\\ \boxed{\mathsf{48}}$

   

CONDIÇÃO V: por exemplo, (azul, azul, azul, azul)

Decisão (d): escolher uma cor para repetir quatro vezes; $\displaystyle \mathtt{\# d = 4}$

Assim, pelo Princípio Aditivo (PA), temos que a quantidade total de possibilidades é:

$\\ \displaystyle \mathsf{24 + 144 + 36 + 48 + 4 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{256}}}$

No segundo momento, determinamos a quantidade de possibilidades para as próximas sete cores/sons. Portanto,

$\\ \displaystyle \mathsf{P_7^{2, 3, 1, 1} =} \\\\ \mathsf{\frac{7!}{2!3!1!1!} =} \\\\ \mathsf{\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} =} \\\\ \mathsf{\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} \cdot \frac{1}{2} =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{A_{7,4}}{2}}}}$

Finalmente, pelo PM, concluímos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{256 \cdot \frac{A_{7, 4}}{2} =} \\\\ \mathsf{2^{8} \cdot \frac{A_{7, 4}}{2} =} \\\\ \mathsf{2^{8 - 1} \cdot A_{7, 4} =} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{2^7 \cdot A_{7, 4}}}}}$