Question

Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura h(t), após t anos, está variando a uma taxa de 0,06t 2/3 + 0,3t 1/2 metros/ano.Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada, que altura terá após 27 anos?

Answer 1

h't=0,06t^(2/3)+0,3t^(1/2)
h(t)=∫ (0,06t^(2/3)+0,3t^(1/2))dt
h(t)=0,06 ∫ t^(2/3) dt+0,3 ∫ t^(1/2) dt
h(t)=((0,06.t^(5/3))/(5/3))+((0,3.t^(3/2))/(3/2)) + c
h(t)=((3/5).0,06.t^(5/3))+((2/3).0,3.t^(3/2)) + c
h(t)=((0,18/5).t^(5/3))+((0,6/3).t^(3/2)) + c
h(t)=0,036.t^(5/3)+0,2.t^(3/2) + c  (I)

h(0)=0,6  ---> substituindo em (I) ---> c=60 cm= 0,6 m

h(27)=0,036.(27)^(5/3)+0,2.(27)^(3/2) + 0,6
h(27)=0,036.243+0,2.140,2961+0,6
h(27)=8,748+28,059+0,6
h(27)=37,407
h(27)=~37,41 m


Obs.:
(2/3)+1=(2+3)/3=5/3
(1/2)+1=(1+2)/2=3/2

Answer 2

$60cm=0,6m$

$\mathsf{0,06=\dfrac{3}{50}}$

$\mathsf{\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{3}{50}{t}^{\frac{2}{3}} +\dfrac{3}{10}{t}^{\frac{1}{2}}}$

$\mathsf{h(t)=\int(\dfrac{3}{50}{t}^{\frac{2}{3}} +\dfrac{3}{10}{t}^{\frac{1}{2}})dt}$

$\mathsf{h(t)=\dfrac{9}{250}{t}^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{5}{t}^{\frac{3}{2}}+c}</p><p>[tex]\mathsf{h(0)=\dfrac{3}{5}}$

$\mathsf{h(t)=\dfrac{9}{250}{t}^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{5}{t}^{\frac{3}{2}}+\dfrac{3}{5}}$

$\mathsf{h(27)=\dfrac{9}{250}{27}^{\frac{5}{3}}+\dfrac{1}{5}{27}^{\frac{3}{2}}+\dfrac{3}{5}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{h(27)\approx37,4m}}}$