Question

Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura h(t), após t anos, está variando a uma taxa de h'(t)= 0.3t^1/2 metros por ano. Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada, que altura terá após 27 anos?

Answer 1

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que vamos realizar, podemos verificar que a altura da árvore para um período de 27 anos é igual a 28,66 metros.

Queremos encontrar o valor da altura de uma árvore sabendo que desde o dia em que foi plantada ela tinha 60 centímetros de altura e sua taxa de variação de acordo com sua função de crescimento é igual a:

$\boxed{\bf h'(t) =0{,}3t ^{1/2}}$

Observe que esta função não pode calcular a altura da árvore, pois representa a derivada da função original, portanto, para encontrar a altura da árvore em 23 anos, devemos encontrar a função original da nossa derivada.

Para encontrar a função original devemos reconhecer alguma ferramenta matemática que converte uma derivada em uma função original, e perguntamos qual é a operação inversa em em termos de uma derivada? Olha, a operação inversa de uma derivada é a antiderivada, uma antiderivada é uma função matemática que é obtida do processo inverso da derivação.

O processo de encontrar a primitiva de uma função é conhecido como integração indefinida e, portanto, é o inverso da diferenciação. Integrais indefinidas estão relacionadas a integrais definidas através do Teorema Fundamental do Cálculo e fornecem um método simples de calcular integrais definidas de muitas funções.

Então, para encontrar a função de crescimento da árvore, teremos que resolver a seguinte integral indefinida:

$\boxed{ \displaystyle\bf h(t) = \int0{,}3t ^{1/2}dt}$

Para resolver essa integral indefinida podemos contar com as regras que eles possuem, para começar a encontrar a solução dessa integral posso retirar o número 0,3 que multiplica a variável "t" já que esse número é tomado como constante.

$\displaystyle h(t) = 0{,}3\int t ^{1/2}dt$

A regra da potência diz que o integral de x elevado a n em relação a x é igual a x elevado a n mais um sobre n mais um mais C, o que significa que: $\boxed{\displaystyle \sf \int x^n dx =\dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C }$

Sendo a letra “C” uma constante de integração cujo valor pode ser qualquer número que esteja incluído no conjunto dos números reais. Então aplicando a regra com nossa integral podemos ver que:

$\displaystyle h(t) = 0{,}3\cdot\dfrac{t ^{1/2+1}}{1/2 +1}+C\\\\\\ \displaystyle h(t) = 0{,}3\cdot\dfrac{t ^{1/2+2/2}}{1/2 +2/2}+C\\\\\\ \displaystyle h(t)=0{,}3\cdot\dfrac{t^{3/2}}{3/2} +C\\\\\\ h(t)=0{,}3\cdot \dfrac{2 t^{3/2}}{3} +C$

Simplificando a expressão, podemos concluir que a antiderivada que originalmente representa o crescimento da árvore é:

$h(t)=0{,}1\cdot 2t^{3/2}+C \quad \to\quad h(t)=0{,}2t^{3/2} +C$

Para poder usar esta função você deve encontrar um número real que represente o valor da constante de integração, para saber o valor desta constante devemos ter alguma condição inicial. A condição inicial deste problema é que quando a árvore foi plantada, ela tinha uma altura igual a 60 centímetros, o que equivale a 0,6 metros, ou seja, a altura da árvore no ano 0 era igual a 0,6 metros, então nossa constante de integraçãob é igual a:

$0{,}6=0{,}2\cdot 0^{3/2} +C \quad \to\quad 0{,}6 = C$

Como sabemos o valor da constante de integração, o que se segue é encontrar a altura "h" da árvore em 27 anos, para isso substituímos o valor de "t" por 27:

$h(27)=0{,}2\cdot 27^{3/2} +0{,}6\\\\\\ h(27)=0{,}2\cdot140{,}30+ 0{,}6\\\\\\ h(27)=28{,}06+0{,}6\\\\\\ \boxed{\bf h(27)=28{,}66~m}$

Conclusão: Após os cálculos, chegamos à conclusão que a altura da árvore em 27 anos após ser plantada é igual a 28,66 metros (aproximado).

Veja mais sobre o assunto de problemas resolvidos por cálculo integral nos links a seguir:

• https://brainly.com.br/tarefa/7259164

Bons estudos e espero que te ajude :-)

Duvidas? Comente