Question

Um bombeiro dispara dois jatos de água para cima. Um na vertical e outro inclinado formando um ângulo de 30° com a horizontal. Qual a razão entre as alturas dos jatos?

Answer 1

Para resolver essa questão, devemos utilizar nossos conhecimentos sobre lançamento vertical e lançamento oblíquo para identificar a razão (divisão) entre as alturas.

• Fórmulas Utilizadas

Equação de Torricelli:

$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot \Delta S$

Em que V é a velocidade final, V0 a velocidade inicial, A a aceleração e Delta S a variação de espaço.

• Cálculo

Vamos considerar que a velocidade do jato (ao ser disparado) é a mesma para as duas situações.

Primeiramente, vamos estudar o movimento quando o jato é disparado na vertical.

Nesse caso, temos que a velocidade final é zero (pois a água para no ar e cai depois de um tempo) e a aceleração é a gravidade (cujo sinal é negativo pois se opõe ao sentido do movimento).

A variação de espaço é a própria altura atingida (H1)

Aplicando a equação de Torricelli:

$0^2=v_0^2-2\cdot g\cdot h_1$

$2\cdot g \cdot h_1=v_0^2$

$h_1=\dfrac{v_0^2}{2\cdot g}$

Agora, estudaremos o movimento do jato quando este forma um ângulo de 30° com a horizontal.

Fazendo a decomposição de vetores, temos que a velocidade vertical (que é a que utilizaremos, identificada como VY) é dada pela seguinte relação:

$v_y=sen(30^o)\cdot v_0$

Em que:

$sen(30^o)=0,5$

Logo,

$v_y=0,5\cdot v_0$

Aplicando a equação de Torricelli:

$0^2=v_y^2-2\cdot g \cdot h_2$

(H2 é a nova altura atingida)

$0=(0,5 \cdot v_0)^2-2\cdot g\cdot h_2$

$2\cdot g \cdot h_2=0,25\cdot v_0^2$

$h_2=\dfrac{0,25\cdot v_0^2}{2 \cdot g}$

Calculando a razão entre as alturas:

$\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{\dfrac{v_0^2}{2\cdot g}}{\dfrac{0,25\cdot v_0}{2 \cdot g}}$

$\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{v_0^2}{2\cdot g}\cdot \dfrac{2 \cdot g}{0,25\cdot v_0^2}$

$\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{v_0^2}{0,25\cdot v_0^2}$

$\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{1}{0,25}$

$\boxed{\dfrac{h_1}{h_2}=4}$

• Resposta:

A razão entre as alturas inicial e final vale 4.

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