Question

Um bloco preso em uma mola oscila e sua posição é determinada pela função

x(t) = xmcos(ωt + φ). (5)
Calcule a energia cinética e energia potencial elástica associadas a esse sistema. Calcule também a energia total do sistema e mostre que ele ́e constante.

Answer 1

Temos que a equação da posição:

$\displaystyle{x(t)=5x_m \cos(\omega t + \phi)$

O bloco possui massa $m$ e a mola constante elástica $k$.  

Ainda $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

A energia potencial elástica é dada por  $U = \frac{1}{2} k x^2$

Como $\displaystyle{x(t)=5x_m \cos(\omega t + \phi)$ temos que:

$\displaystyle{U = \frac{1}{2} k\cdot (5x_m \cos(\omega t + \phi))^2}$

$\displaystyle{U = \frac{25}{2} k\cdot x_m^2 \cos ^2(\omega t + \phi)}$

A energia cinética é dada por  $T= \frac{1}{2}m v^2$

A velocidade pode ser obtida derivando a função da posição a respeito do tempo:

$\displaystyle{v(t)=-5\omega x_m \sin(\omega t + \phi ) }$

Leve em consideração que a derivada do cosseno é -seno. Ainda, pela regra da cadeia devemos multiplicar pela derivada de ωt + φ que é simplesmente ω.

Com isso a energia cinética é:

$\displaystyle{T = \frac{1}{2} m\cdot (-5\omega x_m \sin (\omega t + \phi))^2}$

$\displaystyle{T = \frac{25}{2} m\cdot \omega^2 x_m^2 \sin ^2 (\omega t + \phi ) }$

A energia total é a soma da energia cinética e potencial:

$\displaystyle{E = T + U}$

$\displaystyle{E = \frac{25}{2} m\cdot \omega^2 x_m^2 \sin ^2 (\omega t + \phi ) + \frac{25}{2} k\cdot x_m^2 \cos ^2(\omega t + \phi)}$

Como $\omega^2 = \frac{k}{m}$:

$\displaystyle{E = \frac{25}{2} m\cdot \frac{k}{m} x_m^2 \sin ^2 (\omega t + \phi ) + \frac{25}{2} k\cdot x_m^2 \cos ^2(\omega t + \phi)}$

$\displaystyle{E = \frac{25}{2} k \cdot x_m^2 \sin ^2 (\omega t + \phi ) + \frac{25}{2} k\cdot x_m^2 \cos ^2(\omega t + \phi)}$

$\displaystyle{E = \frac{25}{2} k \cdot x_m^2 \left( \sin ^2 (\omega t + \phi ) +\cos ^2(\omega t + \phi)\right)}$

$\displaystyle{E = \frac{25}{2} k \cdot x_m^2 }$

Como podemos ver, a energia total não depende do tempo, ela é constante e depende apenas da constante da mola e da amplitude!