Question

Um bloco desliza com velocidade v0 sobre um plano horizontal sem atrito.
Subitamente ele encontra uma rampa com ângulo de inclinação θ e
coeficiente de atrito dinâmico µ. Qual altura máxima H o bloco sobe na
rampa?

Answer 1

O bloco sobe a uma altura máxima de v²/2g(cotgθ + 1).

Anexei a figura da questão no final desta resolução, para facilitar o entendimento.

O primeiro passo é encontrar a aceleração do bloco durante o trajeto no plano inclinado. Para isso devemos analisar as forças que atuam no bloco no plano inclinado.

Olhando para a figura vemos que as duas forças paralelas ao plano inclinado apontando para baixo, ou seja, para o lado oposto à subida do plano. Sendo assim, a força resultante também apontará nesse sentido e será dada por:

$F_r = F_{at} + Psen\theta$

Logo, vamos ter:

$F_r = \mu N + Psen\theta$

Olhando novamente para a figura constatamos que a força normal é igual à Pcosθ, logo:

$F_r = \mu Pcos\theta + Psen\theta = P(\mu cos\theta + sen\theta) = mg(\mu cos\theta + sen\theta)$

Pela segunda lei de newton:

$F_r = mg(\mu cos\theta + sen\theta)\\\\ma = mg(\mu cos\theta + sen\theta)\\\\a = g(\mu cos\theta + sen\theta)$

Como a força resultante está oposta ao sentido do movimento do bloco, então essa aceleração na verdade estará desacelerando o bloco, logo terá um sinal negativo:

$a = -g(\mu cos\theta + sen\theta)$

Agora, aplicando Torricelli podemos calcular quanto o bloco vai andar sob a rampa até parar completamente. Essa distância equivale à distância d (em azul) na figura:

$v^2 = v_o^2 + 2ad\\\\0^2 = v_o^2 - 2gd(\mu cos\theta + sen\theta)\\\\d = v_o^2/2g(\mu cos\theta + sen\theta)$

Por fim, podemos aplicar o seno de θ e encontrar a altura máxima H, da figura:

$sen\theta = H/d\\\\H = dsen\theta =sen\theta*(v_o^2/2g(\mu cos\theta + sen\theta))\\\\H = \frac{v_o^2sen\theta}{2g(\mu cos\theta + sen\theta)}$

Dividindo o numerador e o denominador por senθ:

$H = \frac{v_o^2}{2g(\mu cos\theta/sen\theta + sen\theta/sen\theta)} \\\\H = \frac{v_o^2}{2g(\mu cotg\theta + 1)}$

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