Question

Um bloco de massa m1 = 4.5 Kg sobre um plano inclinado de 300 está ligado por um fio (Figura 1) que passa por uma roldana sem massa e sem atrito a um segundo bloco de massa m2= 2.8 Kg suspenso verticalmente. Quais são (a) o módulo da aceleração de cada bloco e (b) a direção e sentido da aceleração do bloco suspenso? (c) Qual é a tração no fio?

Answer 1

Com os cálculos realizados concluímos que:

a) $\large \displaystyle \text { \mathsf{a = 0{,}75 \: m/s^2 } }$

b) Direção: vertical.

Sentido: de cima para baixo.

c) $\large \displaystyle \text { \mathsf{ T = 25{,} 87\: N } }$

O plano inclinado é uma superfície plana, elevada e inclinada.

Com base na figura em anexo, temos:

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sin{\alpha} = \dfrac{P_t}{P} \Rightarrow P_t = P \cdot \sin{\alpha} = F }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \cos{\alpha} = \dfrac{P_n}{P} \Rightarrow P_n = P \cdot \cos{\alpha} = F_n }$

Em relação ao eixo x, podemos estabelecer que a força resultante é a a componente tangencial do peso, ou seja, $\textstyle \sf \sf P_t$.

$\large \displaystyle \mathsf{ F_R = m \cdot a }$

$\large \displaystyle \mathsf{ P_t = m \cdot a }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ P \cdot \sin{\alpha} = m \cdot a } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \diagup\!\!\!{ m} \cdot g \cdot \sin{\alpha} = \diagup\!\!\!{ m} \cdot a } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a = g \cdot \sin{\alpha} }$

Representando as forças que agem sobre o blocos e o plano, temos, ( Vide a figura em anexo ).

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ P_1 = m_1 \cdot g \Rightarrow P_1 = 4{,}5 \cdot 10 \Rightarrow P_1 = 45 \: N } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ P_2 = m_2 \cdot g \Rightarrow P_2 = 2{,}8 \cdot 10 \Rightarrow P_2 = 28 \: N } }$

Os componentes do peso do corpo $\Large\textstyle \sf \sf m_1$ são:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ P_{1x} = P_1 \cdot \sin{30^\circ}\Rightarrow \sf P_{1x} = 45 \cdot 0{,}5 } \Rightarrow \sf P_{1x} = 22{,}5 \: N }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ P_{1y} = P_1 \cdot \cos{30^\circ}\Rightarrow \sf P_{1y} = 28 \cdot 0{,}87 } \Rightarrow \sf P_{1y} = 24{,}36 \: N }$

O corpo $\Large\textstyle \sf \sf m_1$ na direção y não se movimenta:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ N = P_{1y} \Rightarrow N = 24{,}36\: N } }$

(a) o módulo da aceleração de cada bloco;

Utilizando o princípio fundamental da dinâmica, temos:

O corpo $\Large\textstyle \sf \sf m_2$ desce, ou seja, puxa $\Large\textstyle \sf \sf m_1$.

$\large \displaystyle \sf \underline{ \begin{cases} \large \text {\sf Corpo 1: } \sf \to \diagdown\!\!\!\! {T } - P_{1x} = m_1 \cdot a \\ \large \text {\sf Corpo 2: } \sf \to P_2 - \diagdown\!\!\!\! {T } = m_2 \cdot a \end{cases} }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ P_2 -P_{1x} = ( m_1 +m_2) \cdot a } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ 28 - 22{,}5 = ( 4{,}5 +2{,}8) \cdot a } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ 5{,}5 = 7{,}3 \cdot a } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ a = \dfrac{5{,}5}{7{,}3} } }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf a \approx 0,75 \: m/s^2 }} }$

(b) a direção e sentido da aceleração do bloco suspenso?

Direção: vertical.

Sentido: de cima para baixo.

(c) Qual é a tração no fio?

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ T - P_{1x} = m_1 \cdot a } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ T - 22{,} 5 = 4{,}5 \cdot 0{,}75 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ T - 22{,} 5 = 3{,}375 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ T = 3{,}375 + 22{,} 5} }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf T \approx 25{,}87 \: N }} }$

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