Um bloco de massa 1,50kg é preso a uma mola de constante elástica LaTeX: k = 1,50 \times 10^3\text{ } N/mk=1,50×103 N/m. Verifica-se que após 4 ciclos a amplitude é 1/3 da amplitude inicial. Num dado instante aplica-se ao bloco a força externa:
LaTeX: F(t) = 2,0 \times 10^2\cdot \sin (30t)F(t)=2,0×102⋅sin(30t)
Determine:
a) A frequência angular natural de oscilação.
b) A frequência angular das oscilações amortecidas.
c) A frequência angular das oscilações forçadas.
d) Haverá ressonância? Caso contrário, para qual frequência ocorre a ressonância?
Soluções para a tarefa
se você tem uma massa de 1,5 kg presa a uma mola (k=1,50 x 10³ N/m) cuja aplitide A após 4 ciclos é A/3 e posteriormente é aplicada uma F(t) = 200 sen(30t), então:
Consideremos que a mola parte da Amplitude máxima, X = A.cos(ω.t) em t=0s x = A. Como a unica força presente é o peso de 1,5kg, essa será porporcional a força elástica logo,
a frequência angular natural será é ω = √k/m --> ω = √1,5.10³/1,5 --> ω = 31,62 rad/s.
um ciclos gasta T = 2π/ω = 0,2 segundos --> passado 0,8 segundos a amplitude do movimento cais para A/3,
A/3 = Ae -(b/2m)t --> e -(b/2.1,5)0.8 = 1/3 --> -0,8b/3 = ln 1/3 --> b = -3/0,8 . ln 1/3 = 4,12
A frequência angular amortecida e dada por ω = √(k/m - b2/4m), ω = √(1000 - 4,122/4.1,5) ω =31,58 rad/s
A frequência angular das oscilações forçadas é a mesma da força atuante que no caso é de 30 rad/s.
Haverá ressonância? sim pois a força externa propulsora tem frequencia proxima a frequencia natural do sistema
ω = 31,62 rad/s.
a) A frequência angular natural de oscilação será de 31,62 rad/s.
b) A frequência angular das oscilações amortecidas será de 31,58 rad/s.
c) Podemos afirmar que sim, haverá ressonância, haja vista a força externa propulsora possuir frequência próxima a frequência natural do sistema. A frequência seria de 31,62 rad/s.
Agora, vamos aos cálculos para resolução do problema:
-Dados
--> massa de 1,5 kg presa
--> mola (k=1,50 x 10³ N/m)
--> amplitude A após 4 ciclos é A/3
--> F(t) = 200 sen(30t)
a)
Para:
X = A.cos(ω.t)
em t=0s
x = A
peso= 1,5kg proporcional a força elástica logo,
Teremos que:
ω = √k/m
ω = √1,5.10³/1,5
ω = 31,62 rad/s.
b)
Sabendo que um ciclo gasta:
T = 2π/ω
T= 0,2 segundos
temos que passado 0,8 segundos a amplitude do movimento cais para A/3, então:
A/3 = Ae -(b/2m)t
e -(b/2.1,5)0.8 = 1/3
-0,8b/3 = ln 1/3
b = -3/0,8 . ln 1/3
b= 4,12
Por fim, a frequência angular amortecida e dada por
ω = √(k/m - b2/4m)
ω = √(1000 - 4,122/4.1,5)
ω =31,58 rad/s
c)
A frequência angular das oscilações forçadas equivale a da força atuante que é de 30 rad/s.
Haverá ressonância;
ω = 31,62 rad/s.
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