Question

um bloco de massa 0,3 kg esta preso a extremidade de uma mola de constante elastica 1,20 N/m ocila como motra o esqema. determine. a) periodo b) frequencia c) a amplitude MHS d) a frequencia angular

Answer 1

Sabemos que a força elástica é dada por:
$\vec{F}=-k\vec{x}$
e que essa força deve ser equivalente a uma massa x aceleração, de acordo com a 2ª Lei de Newton:
$\vec{F}=m\vec{a}=m\ddot{x}$
onde:
$\displaystyle \ddot{x}=\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}$ (aceleração)
dessas duas relações encontramos:
$m\bold{\ddot{x}}=-kx$
a partir dessa relação encontramos uma EDO homogênea:
$\displaystyle i)~~~~m\ddot{x}=-kx\\\\ii)~~~\ddot{x}=-\frac{k}{m}x\\\\iii)~~\ddot{x}+\omega^2 x=0$
aqui temos os seguintes dados e suas grandezas:
$\bullet~m=\text{massa}=~kg\\\\\bullet~k=\text{constante elastica da mola}=\frac{N}{m}\\\\\bullet~\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega=\text{frequencia angular}=Hz\\\\\boxed{\frac{k}{m}=\frac{N}{kgm}=\frac{\frac{kgm}{s^2}}{kgm}=\frac{1}{s^2}=Hz^2=\omega^2 }$

Resolver EDO:

Aqui consideramos que x é uma função do tempo:
$x(t)=x$
e x'' + ω²x = 0
Então somos convidados a nos perguntar: Qual função que tem a segunda derivada igual a - a sua primitiva multiplicada por uma constante??
Sabemos que a exponencial possui a seguinte propriedade:
$\boxed{\frac{d^n}{dt^n}e^t=e^t~~\forall~n\in\mathbb{N}}$
sua n-ésima derivada é igual a sua primitiva.
Consideramos a equação característica como sendo:
$\boxed{\ddot{x}+\omega x=0}\implies \boxed{s^2+\omega^2=0}\\~~~~~\text{EDO}~~~~~~~~~\text{equacao caracteristica}$
encontramos os valores de s:
$\displaystyle i)~~~~~s^2+\omega^2=0\\\\ii)~~~~S=\pm\frac{\sqrt{-4\omega^2}}{2}=\pm\frac{\sqrt{i^24\omega^2}}{2}=\boxed{\pm i\omega}$
que por um teorema que não irei demonstrar, fazemos:
$x(t)=c_1e^{i\omega t}+c_2e^{-i\omega t}$
e pela fórmula de Euler:
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
a solução é dada por:
$x(t)=c_1(\cos (\omega t)+i\sin(\omega t))+c_2(\cos(\omega t)-i\sin (\omega t))\\~~~~~~~=(c_1+c_2)\cos(\omega t)+i(c_1-c_2)\sin(\omega t)=\boxed{a\cos (\omega t)+b\sin(\omega t)}$
onde arbitrariamente fazemos:
$a=A\cos\delta ~~~~~~~~~b=-A\sin\delta$
a equação fica:
$x(t)=A\cos\delta \cos \omega t-A\sin \delta \sin \omega t=\boxed{A\cos(\omega t+\delta)}$
que é a equação do oscilador
onde delta e A são constantes, delta é uma constante de fase e A é a amplitude de oscilação do oscilador.

a) O período de um oscilador pode ser encontrado a partir de:
$\displaystyle i)~~~~~\omega=2\pi\nu\\\\ii)~~~\omega=2\pi\tau^{-1}\\\\iii)~~\frac{2\pi}{\omega}=\tau\\\\iv)~~\tau=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
substituimos então a massa e a constate elástica pelos dados fornecidos pelo problema:
$\displaystyle \tau=2\pi\sqrt{\frac{0,3kg}{1,20N/m}}=2\pi\sqrt{\frac{0,3}{1,20}s^2}=2\pi\sqrt{0,25s^2}=2\pi\cdot 0,5s=\boxed{\pi~s}$
o período é pi segundos.
Significa que a cada pi segundos (aproximadamente 3,14 segundos) o oscilador completa um ciclo.


b) Frequência:
A frequência é o inverso do período:
$\nu=\tau^{-1}$
logo:
$\displaystyle i)~~~~\nu=\tau^{-1}=\frac{1}{\tau}\\\\ii)~~~\nu=\frac{1}{\pi}Hz\approx 0,317~Hz$
aproximadamente 0,317 hertz é a frequência do oscilador.

c) PRECISO DE UMA IMAGEM ANEXADA PARA CALCULAR A AMPLITUDE POIS FALTAM DADOS!!

d) a frequência angular é o nosso omega. Desse modo:
$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\\\\\text{entao:}\\\\\omega=\sqrt{\frac{1,2N}{0,3kg~m}}=\sqrt{4s^{-2}}=\boxed{2Hz}$

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Bons estudos!!