Question

Um bloco com massa m = 0,300 kg é preso a uma extremidade de uma mola ideal e move-se sobre uma superfície horizontal sem atrito. A outra extremidade da mola é presa a uma parede. Quando o bloco está em x = +0,240 m, sua aceleração é a x = –12,0 m/s 2 e sua velocidade é v x =+4,00 m/s. Quais são: (a) a constante de força da mola k; (b) a amplitude do movimento; (c) a velocidade máxima do bloco durante seu movimento; e (d) o módulo máximo da aceleração do bloco durante seu movimento.

Answer 1

a)

Fr = m.a ==> Fr = 0,3 * (-12) = -3,6 N

Mas |Fr| = |Fe|. Assim,

3,6 = k 0,240 ==> k = 15 N/m

b) A energia total é dada por Etot = Eelastica + Ecinetica

Etot = 0.3 * 4^2 / 2 + 15 * 0.240^2 / 2 = 2,832 J

A amplitude do movimento pode ser encontrada impondo Ecinetica = 0, ou seja,

Etot = Eelastica = k.x^2/2 ==> 2,832 = 15*x^2/2 ==> x = 0,614 m

c) A velocidade máxima pode ser encontrada impondo x = 0. Assim,

Ecinética = m*v^2/2 ==> 2,832 = 0,3*v^2/2 ==> v = 4,345 m/s

d) Novamente, Etot = Eelastica + Ecinetica ==> Derivando ambos os lados em relação ao tempo, temos que 0 = d(Eelastica)/dt + d(Ecinetica)/dt, o que implica  d(Eelastica)/dt = -d(Ecinetica)/dt. Explicitando a igualdade, obtemos

-k x dx/dt = m v dv/dt

Mas v = dx/dt. Assim,

-k x = m dv/dt

Dessa forma, a aceleração é máxima quando a amplitude é máxima, isto é,

|dv/dt| = |-15 * 0,614 / 0,3| = 30,7 m/s^2

Answer 2

Item A)

A mola do oscilador massa-mola possuí uma constante elástica k igual a 15 N/m.

A força elástica é da pela seguinte equação:

$f_{elas}=k \cdot x$

Sendo:

k = contante elástica da mola;

x = deformação.

Aplicando a segunda lei de Newton, temos

$Fr=F_{elas} \Rightarrow m \cdot a= k\cdot x$

Isolando k:

$k=\dfrac{m\cdot a}{x}$

Para uma deformação de +0,240 metros o oscilador massa-mola possuí uma aceleração de -12,00m/s². Dado que o bloco no oscilador possuí 0,30 kg.

Substituindo as informações na questão, temos:

$k=\dfrac{0,3~kg \cdot 12 \dfrac{m}{s^2}}{0,24~m} \Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}k =15~~\dfrac{N}{m} \end{array}}\end{array}}$

Item B)

A amplitude máxima do oscilador massa-mola é igual a 0,6145 metros.

A energia total do oscilador massa-mola é dado por:

$E_T=E_{Cen}+E_{Pela}$

Sendo:

$E_{Cen}=$ Energia cinética;

$E_{Cen}=\dfrac{m \cdot v^2}{2}$;

$m=$ Massa;

$v=$ Velocidade;

$E_{Pel}=$ Energia potencial elasticidade;

$E_{Pel}=\dfrac{k\cdot x^2}{2}$;

$k=$ Constante de elasticidade da mola; e

$x=$ Deformação da mola.

Calculando a energia total do oscilador, temos:

$E_T=\dfrac{0,3~kg \cdot \left(4\dfrac{m}{s}\right)^2}{2}+\dfrac{(0,24~m)^2 \cdot 15~\dfrac{N}{m}}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}E_T=2,832~~J\end{array}}\end{array}}$

A amplitude máxima do oscilador massa-mola pode ser calculada no momento em que a energia cinética é igual a zero, sendo assim, a energia potencial elástica corresponderá a toda energia mecânica do sistema:

$E_T=E_{Cen}+E_{Pela} \Rightarrow E_T=0+E_{Pela} \Rightarrow E_T=E_{Pela}$

Como a energia mecânica total é igual a 2,832 J, temos:

$2,832~J=\dfrac{15\dfrac{N}{m} \cdot x^2}{2} \Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{2 \cdot 2,832~J}{15\dfrac{N}{m}}} \Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}x=0,6145~~m\end{array}}\end{array}}$

Item C)

A velocidade máxima do oscilador massa-mola é igual a 4,3451 m/s.

A velocidade máxima do oscilador massa-mola pode ser calculada no momento em que a energia potencial elástica é igual a zero, sendo assim, a energia cinética corresponderá a toda energia mecânica do sistema:

$E_T=E_{Cen}+E_{Pela} \Rightarrow E_T=E_{Cen}+0 \Rightarrow E_T=E_{Cen}$

Como a energia mecânica total é igual a 2,832 J, temos:

$2,832~J=\dfrac{0,30~kg \cdot v^2}{2} \Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2 \cdot 2,832~J}{0,30~kg}} \Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}v=4,3451~~\dfrac{m}{s}\end{array}}\end{array}}$

Item C)

A aceleração máxima do oscilador massa-mola é igual a 30,725 m/s².

A frequência do oscilador massa-mola é dado por:

$f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

Calculando a frequência do oscilador, temos:

$f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{15~\dfrac{N}{m}}{0,30~~kg}} \Rightarrow f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{15~\dfrac{kg \cdot m}{s \cdot m}}{0,30~~kg}} \\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}f=1,1254 ~~HZ\end{array}}\end{array}}$

O período é dado por:

$w =2\pi f$

Calculando o período do oscilador

$w=2 \pi \cdot 1,1254~~ HZ\\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}w=7,0711~~HZ\end{array}}\end{array}}$

A aceleração máxima/mínims do oscilador massa-mola pode ser calculada no momento em que a amplitude é máxima/miníma, ou seja, em +0,6145/- 0,6145 metros:

A aceleração do oscilador é dado por:

$a = w^2 \cdot x$

Para x = 0,6145 m:

$a_{max}=\left(7,0711~\dfrac{1}{s} \right)^2 \cdot 0,6145 ~~m\\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}a_{max}=30,725 ~~\dfrac{m}{s^2}\end{array}}\end{array}}$

Continue estuando mais sobre o movimento periódico e oscilatório em:

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