Um bem, cujo preço à vista é R$ 500,00, será adquirido por meio de duas prestações mensais consecutivas de R$ 450,00, sendo a primeira delas paga um mês após a compra. Nessa venda, a taxa mensal de juros compostos aplicada é:
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Josepaulo, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se que o preço à vista de um bem é R$ 500,00 e será adquirido por meio de duas prestações mensais e consecutivas de R$ 450,00, sendo a primeira paga após um mês e a segunda após 2 meses após a compra.
Pede-se: nessa venda qual será a taxa mensal de juros compostos envolvida na transação a prazo.
ii) Veja como é simples. Vamos trazer para o valor presente cada prestação de R$ 450,00 pelo fator (1+i)¹ = (1+i) para o 1ºmês e (1+i)² para o 2º mês. E as prestações assim trazidas para o valor presente deverão ser iguais ao valor à vista (R$ 500,00). Assim, teremos que:
500 = 450/(1+i) + 450/(1+i)² ----- mmc = (1+i)². Assim, utilizando-o apenas no 2º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):
500 = [(1+i)*450 + 1*450]/(1+i)² ---- desenvolvendo, teremos:
500 = [450*1+450*i + 450]/(1+i)² ---- continuando o desenvolvimento, temos:
500 = [450 + 450i + 450]/(1+i)² ---- reduzindo os termos semelhantes:
500 = [900 + 450i]/(1+i)² ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
(1+i)²*500 = 900 + 450i ---- desenvolvendo o quadrado,teremos:
(1+2i+i²)*500 = 900 + 450i ---- efetuando o produto indicado, temos:
500*1+500*2i+500*i² = 900 + 450i ---- desenvolvendo, temos:
500 + 1.000i + 500i² = 900 + 450i --- passando o 2º membro para o 1º:
500 +1.000i + 500i² - 900 - 450i = 0 --- reduzindo os termos semelhantes:
500i² + 550i - 400 = 0 ----- para facilitar, poderemos simplificar ambos os membros por "10",com o que ficaremos assim:
50i² + 55i - 40 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:
i' = - 1,60 <---- raiz descartada, pois a taxa de juros não é negativa.
i'' = 0,50 <--- raiz válida.
Assim, a taxa de juros envolvida na transação foi de:
0,50 ou 50% (após multiplicarmos "0,50" por "100") <--- Esta é a resposta.
Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver se isso é verdade mesmo. Ou seja, vamos ver se trazendo as duas prestações de R$ 450,00 para o valor presente utilizando-se a taxa de 50% (ou 0,50) iremos ter realmente o valor à vista (R$ 500,00). Vamos ver:
500 = 450/(1+0,50) + 450/(1+0,50)²
500 = 450/(1,50) + 450/(1,50)² ---- note que (1,50)² = 2,25. Logo:
500 = 450/1,50 + 450/2,25 ---- efetuando as divisões indicadas, teremos:
500 = 300 + 200
500 = 500 <--- Olha aí como é verdade mesmo.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.