Question

Um barco desliga seu motor quando sua velocidade escalar é de 10,0 m/s e navega até parar.
A equação descrevendo o movimento do barco durante esse período é υ = υie-ct, em que υ é avelocidade escalar no tempo t = 20,0 s, a velocidade escalar é de 5,00 m/s. (a) Encontre aconstante c. (b) Qual é a velocidade escalar em t = 40,0 s? (c) Diferencie a expressão paraυ(t) e mostre, assim, que a aceleração do barco é proporcional à velocidade escalar emqualquer tempo?

Answer 1

A constante c presente na equação de velocidade é de c = 0,03465. A velocidade escalar em t=40s é de v = 2,5 m/s.

Manipulação de funções

a) Para acharmos a constante c devemos substituir na equação valores que já conhecemos dos outros parâmetros. Neste caso sabemos apenas o ponto no tempo t = 20s em que a velocidade é de v = 5 m/s, além disso também sabemos a velocidade inicial vi = 10 m/s que é quando o barco desliga os motores:

$v(20) = 10e^{-c20}=5\\\\e^{-20c}=0,5$

Aplicando a propriedade básica de log:

$log_{e}0,5=-20c\\c=-\frac{log_{e}0,5}{20}\\c=-(-0,693)/20\\c=0,03465$

b) Agora que temos a equação completa com seus parâmetros, podemos usá-la como uma função:

$v(t)=10e^{-0,03465t}\\v(40)=10e^{-0,03465*40}\\v(40)=2,5 m/s$

c) Para encontrarmos a aceleração do barco basta derivarmos v(t) em relação ao tempo:

$a=\frac{d v (t)}{dt}=10(-0,03465)e^{-0,03465t}$

Observe que a expressão para v(t) está contida na aceleração acima, substituindo na relação, podemos ver melhor a proporcionalidade entre elas:

a = - 0,03465 v(t)

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