Question

Um baralho tem 900 cartas numeradas de 100 a 999. Cartas cuja soma dos algarismos é a
mesma, possuem a mesma cor e cartas com somas distintas, cores diferentes. Alice, Bia,
Carla e Dani pegam, cada uma, uma certa quantidade de cartas.
a) Todas as cartas que Alice pegou tinham cores diferentes. Qual a quantidade máxima
de cartas que Alice pode ter pego?
b) Bia pegou todas as cartas que possuem o algarismo 1. Quantas cartas Bia pegou?
c) Carla pegou todas as cartas com exatamente 2 algarismos iguais. Quantas cartas Carla
pegou?
d) Dani disse: – Peguei duas cartas com a mesma cor e números consecutivos. É possível
que isso tenha acontecido?

POR FAVOR ME AJUDEM E COM URGENCIA!!!

Answer 1

Olá, Hélio! Que problema interessante você propôs! A resolução dele é bem analítica e construtiva. Vamos dar uma olhada.

    (1) O primeiro dado que nos é fornecido é o número de cartas – 900, bem como a descrição dos números que aparecem nas mesmas – 100 a 999.

    (2) Sabemos também que as cartas cuja soma dos algarismos é a mesma possuem a mesma cor.

    Nos foi informado que Alice, Bia, Carla e Dani pegaram cada um certo número desconhecido de cartas.

 

    Depois de organizados os dados, vamos nos concentrar em dar a cada alínea das perguntas uma resposta clara:

 

    a)Todas as cartas que Alice pegou tinham cores diferentes. Qual a quantidade máxima de cartas que Alice pode ter pego?

      A pergunta não é quantas cartas Alice pegou. A pergunta pede a quantidade máxima de cartas, de cores diferentes, Alice pode ter pego.

      Do parágrafo (1) temos: as cartas estão enumeradas de 100 a 999.

      Do parágrafo (1) temos: cartas cuja soma dos algarismos é a mesma possuem a mesma cor.

      O menor número é 100 (cuja soma dos algarismos é 1) e o maior número é 999 (cuja soma dos algarismos é 27). Notamos assim que a soma dos algarismos de cada carta tem a seguinte caraterística:

100 [soma dos algarismos (s) = 1]

101 (s = 2)

…………

204 (s=6)

205 (s=7)

………….

998 (s=26)

999 (s=27)

      Fica claro que a soma dos algarismos de cada número varia de 1 a 27, ou seja, há 27 somas diferentes. Se as cartas cuja soma dos algarismos de seu número é a mesma são da mesma cor, então existem cartas com 27 cores diferentes.

      Assim sendo, Alice poderia ter pego no máximo 27 cartas de cores diferentes.

 

 

    b) Bia pegou todas as cartas que possuem o algarismo 1. Quantas cartas Bia pegou?

 

      Vamos analisar a quantidade de cartas que possuem o número 1 nos seus algarismos.

 

      De 100 a 199 existem 100 números, e todos possuem pelo menos um dígito 1.

 

      A seguir temos a repetição do seguinte padrão:

 

201, “210 a 219 (10 números)”, 221, 231, 241, 251, 261, 271, 281, 291. (19 números)

 

301, “310 a 319 (10 números)”, 321, 331, 341, 351, 361, 371, 381, 391. (19 números)

…………………………..

 

901, “910 a 919 (10 números)”, 921, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991. (19 números).

 

      A explanação acima deixa claro que no intervalo dos números em que os algarismos das centenas são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (8 números) possuem respectivamente 19 números com pelo menos um dígito 1.

      Ou seja, de 201 a 999 existem 19*8 com pelo menos um dígito 1, isto é, 152 números.

 

      Somando os 100 cartas (de 100 a 199) e as 152 cartas (de 200 a 999) temos um total de 252 cartas que possuem um (ou mais) dígito 1.

 

      Assim sendo, se Bia pegou todas as cartas em que o número 1 aparece, então ela pegou 252 cartas.

 

    c) Carla pegou todas as cartas com exatamente 2 algarismos iguais. Quantas cartas Carla pegou?

      Para começar, precisamos descartar os números que possuam o algarismo 1, pois a Bia pegou todas. Nesse caso, nos restam as seguintes cartas com exatamente dois algarismos iguais:

      200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900. (8 números)

Excluímos todas com o número 1 (Bia pegou todas com esse número)

202, 220, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292. (16 números)

303, 323, 330, 332, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 343, 353, 363, 373, 383, 393. (16 números)

404, 424, 434, 440, 442, 443, 445, 446, 447, 448, 449, 454, 464, 474, 484, 494. (16 cartas)

505, 525, …, 595. (16 cartas)

606, 626, …, 696. (16 cartas)

707, 727, …, 797. (16 cartas)

808, 828, …, 898. (16 cartas)

909, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 990, 992, 993, 994, 995, 996, 997, 998. (16 Cartas)

      Conforme demonstrado acima, haviam “8+8*16” cartas com exactamente dois algarismos iguais, ou seja, 136.

 

      Se Carla pegou todas as cartas com exactamente dois algarismos iguais, então ela pegou 136 cartas.

 

    d) Dani disse: – Peguei duas cartas com a mesma cor e números consecutivos. É possível que isso tenha acontecido?

     Se tomarmos como exemplo as cartas não extraídas anteriormente, por exemplo 423 e 234, notamos que a soma de seus algarismos é a mesma – 9, o que implica que são da mesma cor. Essas cartas possuem dois ou três números consecutivos e a mesma cor, assim como as cartas “356 e 734”, “562 e 823”. (Apenas para ilustrar)

 

   . Sendo que Dani não afirmou que as cartas possuem exactamente 3 números consecutivos, Isso indica que é possível sim que Dani tenha pegado duas cartas com a mesma cor e números consecutivos.

    Espero que a resolução tenha sido clara, apesar de ser longa. Isto se dá porque "Não existem métodos fáceis para resolver problemas difíceis."

    Até a próxima!